Σημαντικά ψηφία στους υπολογισμούς — Κανόνες και παραδείγματα

Χρησιμοποίησε τα σημαντικά ψηφία στους υπολογισμούς για να δώσεις μια απάντηση με την ακρίβεια που πραγματικά υποστηρίζουν οι μετρήσεις σου. Στη χημεία, ο κανόνας είναι απλός: στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση ακολουθούμε τα σημαντικά ψηφία, ενώ στην πρόσθεση και την αφαίρεση ακολουθούμε τα δεκαδικά ψηφία.

Αν θυμάσαι μόνο δύο κανόνες, θυμήσου αυτούς:

1. Στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, στρογγυλοποίησε την τελική απάντηση ώστε να έχει τον ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων με τη μετρούμενη τιμή που έχει τα λιγότερα σημαντικά ψηφία.
2. Στην πρόσθεση και την αφαίρεση, στρογγυλοποίησε την τελική απάντηση στη λιγότερο ακριβή δεκαδική θέση.

Αυτοί είναι κανόνες αναφοράς για μετρούμενες τιμές. Οι ακριβείς μετρήσεις πλήθους, οι ορισμένοι συντελεστές μετατροπής και οι στοιχειομετρικοί συντελεστές συνήθως δεν περιορίζουν την τελική ακρίβεια.

Γιατί έχουν σημασία τα σημαντικά ψηφία στους υπολογισμούς

Τα σημαντικά ψηφία δεν είναι απλώς θέμα μορφοποίησης. Δείχνουν πόση ακρίβεια υποστηρίζουν τα μετρούμενα δεδομένα σου.

Για παράδειγμα, τα $12.0\ \mathrm{mL}$ και $12.00\ \mathrm{mL}$ δεν δηλώνουν το ίδιο επίπεδο ποιότητας μέτρησης. Η δεύτερη τιμή ισχυρίζεται ακρίβεια σε μικρότερη θέση αξίας. Ένας υπολογισμός δεν πρέπει να δημιουργεί περισσότερα αξιόπιστα ψηφία από όσα δικαιολογούν οι αρχικές μετρήσεις.

Γι’ αυτό οι καθηγητές χημείας συχνά λένε να στρογγυλοποιείς στο τέλος και όχι σε κάθε βήμα. Η πρόωρη στρογγυλοποίηση μπορεί να αλλάξει το αποτέλεσμα χωρίς να το καταλάβεις.

Οι δύο κανόνες σημαντικών ψηφίων που πραγματικά χρησιμοποιείς

Σημαντικά ψηφία σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση

Όταν ποσότητες πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται, το αποτέλεσμα περιορίζεται από τη μετρούμενη τιμή με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία.

Αν διαιρέσεις το $12.11$ με το $4.2$, η αριθμομηχανή δίνει:

$$\frac{12.11}{4.2} = 2.88333\ldots$$

Όμως το $12.11$ έχει $4$ σημαντικά ψηφία, ενώ το $4.2$ έχει $2$. Άρα η απάντηση που θα αναφερθεί πρέπει να έχει $2$ σημαντικά ψηφία:

$$2.9$$

Δεκαδικές θέσεις σε πρόσθεση και αφαίρεση

Όταν ποσότητες προστίθενται ή αφαιρούνται, το όριο προκύπτει από τη δεκαδική θέση και όχι από το συνολικό πλήθος σημαντικών ψηφίων.

Για παράδειγμα:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Ο αριθμός $0.3$ είναι ακριβής μόνο μέχρι τα δέκατα, άρα και η απάντηση που θα αναφερθεί πρέπει επίσης να σταματά στα δέκατα:

$$12.4$$

Αυτός είναι ο κανόνας που οι μαθητές μπερδεύουν πιο συχνά. Ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση δεν στρογγυλοποιούνται με τον ίδιο τρόπο.

Λυμένο παράδειγμα: Υπολογισμός πυκνότητας με σημαντικά ψηφία

Έστω ότι ένα δείγμα έχει μετρούμενη μάζα $12.11\ \mathrm{g}$ και μετρούμενο όγκο $4.2\ \mathrm{mL}$. Να βρεθεί η πυκνότητα.

Χρησιμοποίησε τον τύπο της πυκνότητας:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Αντικατάστησε τις τιμές:

$$\rho = \frac{12.11\ \mathrm{g}}{4.2\ \mathrm{mL}} = 2.88333\ldots\ \mathrm{g/mL}$$

Τώρα εφάρμοσε τον σωστό κανόνα στρογγυλοποίησης.

• Το $12.11$ έχει $4$ σημαντικά ψηφία.
• Το $4.2$ έχει $2$ σημαντικά ψηφία.

Επειδή πρόκειται για διαίρεση, το αποτέλεσμα πρέπει να έχει $2$ σημαντικά ψηφία:

$$\rho \approx 2.9\ \mathrm{g/mL}$$

Το σημαντικό σημείο δεν είναι η αριθμητική πράξη. Το σημαντικό σημείο είναι ότι η μέτρηση του όγκου περιορίζει την ακρίβεια της πυκνότητας που αναφέρεις.

Τι να κάνεις σε προβλήματα χημείας πολλών βημάτων

Πολλά προβλήματα χημείας συνδυάζουν πολλά βήματα, όπως υπολογισμούς μοριακής μάζας, στοιχειομετρίας ή συγκέντρωσης. Σε αυτές τις περιπτώσεις, συνήθως είναι καλύτερο να κρατάς περισσότερα ψηφία στους ενδιάμεσους υπολογισμούς και να στρογγυλοποιείς μόνο την τελική τιμή που θα αναφέρεις.

Αυτό βοηθά ώστε μικρές αλλαγές από στρογγυλοποίηση να μην συσσωρεύονται. Επίσης σου δίνει περισσότερες πιθανότητες να εφαρμόσεις τον σωστό κανόνα στο μέγεθος που πραγματικά αναφέρεις στο τέλος.

Αν ένα βήμα χρησιμοποιεί έναν ακριβή αριθμό, όπως έναν συντελεστή σε εξισορροπημένη χημική εξίσωση, έναν μετρημένο αριθμό σωματιδίων ή έναν ορισμένο μετασχηματισμό όπως $1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s}$, αυτός ο ακριβής αριθμός συνήθως δεν καθορίζει το όριο των σημαντικών ψηφίων. Το όριο συνήθως προέρχεται από μετρούμενα δεδομένα όπως η μάζα, ο όγκος, η θερμοκρασία ή η συγκέντρωση.

Συχνά λάθη με τα σημαντικά ψηφία

Χρήση ενός κανόνα για κάθε πράξη

Αυτό είναι το μεγαλύτερο λάθος. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση χρησιμοποιούν τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Η πρόσθεση και η αφαίρεση χρησιμοποιούν τη λιγότερο ακριβή δεκαδική θέση.

Πολύ πρόωρη στρογγυλοποίηση

Αν μετατρέψεις το $2.88333\ldots$ σε $2.9$ πολύ νωρίς και μετά συνεχίσεις τους υπολογισμούς, η τελική απάντηση μπορεί να μεταβληθεί περισσότερο απ’ όσο πρέπει. Κράτα περισσότερα ψηφία μέχρι το τέλος, όταν είναι δυνατό.

Να αφήνεις ακριβείς αριθμούς να περιορίζουν την απάντηση

Οι συντελεστές σε μια εξισορροπημένη εξίσωση, τα μετρημένα αντικείμενα και οι ορισμένοι μετασχηματισμοί είναι συνήθως ακριβείς. Συνήθως δεν μειώνουν την ακρίβεια ενός μετρούμενου αποτελέσματος.

Να αγνοείς τι σημαίνουν τα τελικά μηδενικά

Τα $2.0\ \mathrm{mL}$ και $2.00\ \mathrm{mL}$ δεν εκφράζουν την ίδια ακρίβεια. Στη χημεία, αυτά τα μηδενικά μπορεί να έχουν σημασία επειδή αλλάζουν τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων.

Πού χρησιμοποιείς τα σημαντικά ψηφία στη χημεία

Οι κανόνες των σημαντικών ψηφίων έχουν σημασία οπουδήποτε η χημεία βασίζεται σε μετρούμενα δεδομένα: πυκνότητα, μοριακότητα, ογκομέτρηση, στοιχειομετρία, θερμιδομετρία και αναφορά εργαστηριακών αποτελεσμάτων.

Στην πραγματική εργαστηριακή πρακτική, αυτό δεν είναι απλώς μια σχολική σύμβαση. Αν αναφέρεις υπερβολικά πολλά ψηφία, ένα αποτέλεσμα μπορεί να φαίνεται πιο ακριβές απ’ όσο υποστηρίζει η διαδικασία μέτρησης.

Γρήγορος έλεγχος πριν παραδώσεις μια απάντηση

Πριν δεχτείς μια τελική απάντηση, ρώτησε:

1. Το τελευταίο μέγεθος που αναφέρω προέκυψε από πολλαπλασιασμό ή διαίρεση, ή από πρόσθεση ή αφαίρεση;
2. Ποια μετρούμενη τιμή περιορίζει πραγματικά την ακρίβεια;
3. Έκανα στρογγυλοποίηση μόνο αφού ολοκλήρωσα τον υπολογισμό;

Αν μπορείς να απαντήσεις καθαρά σε αυτές τις τρεις ερωτήσεις, το αποτέλεσμα με σημαντικά ψηφία είναι συνήθως σωστό.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Άλλαξε λίγο το παράδειγμα της πυκνότητας, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας $12.108\ \mathrm{g}$ και $4.25\ \mathrm{mL}$, και λύσ’ το ξανά. Αυτός είναι ένας γρήγορος τρόπος να ελέγξεις αν ο κανόνας βγάζει νόημα πριν τον συναντήσεις μέσα σε ένα μεγαλύτερο πρόβλημα στοιχειομετρίας ή ογκομέτρησης.