Cyfry znaczące w obliczeniach — zasady i przykłady

Używaj cyfr znaczących w obliczeniach, aby podać wynik z taką dokładnością, na jaką rzeczywiście pozwalają Twoje pomiary. W chemii zasada jest prosta: przy mnożeniu i dzieleniu stosuje się cyfry znaczące, a przy dodawaniu i odejmowaniu — miejsca po przecinku.

Jeśli masz zapamiętać tylko dwie zasady, zapamiętaj te:

1. Przy mnożeniu i dzieleniu zaokrąglij wynik końcowy do takiej samej liczby cyfr znaczących, jaką ma wartość mierzona z najmniejszą liczbą cyfr znaczących.
2. Przy dodawaniu i odejmowaniu zaokrąglij wynik końcowy do najmniej dokładnego miejsca po przecinku.

Są to zasady zapisu dla wartości mierzonych. Dokładne liczebności, zdefiniowane współczynniki przeliczeniowe i współczynniki stechiometryczne zwykle nie ograniczają końcowej dokładności.

Dlaczego cyfry znaczące mają znaczenie w obliczeniach

Cyfry znaczące to nie tylko kwestia formatu zapisu. Pokazują, na jaką dokładność pozwalają Twoje dane pomiarowe.

Na przykład $12.0\ \mathrm{mL}$ i $12.00\ \mathrm{mL}$ nie oznaczają tego samego pod względem jakości pomiaru. Druga wartość deklaruje dokładność do mniejszego rzędu. Obliczenie nie powinno tworzyć bardziej wiarygodnych cyfr, niż uzasadniają to pomiary wejściowe.

Dlatego nauczyciele chemii często mówią, aby zaokrąglać na końcu, a nie na każdym etapie. Zbyt wczesne zaokrąglanie może niepostrzeżenie zmienić wynik.

Dwie zasady cyfr znaczących, których naprawdę używasz

Cyfry znaczące przy mnożeniu i dzieleniu

Gdy wielkości są mnożone lub dzielone, wynik jest ograniczony przez wartość mierzoną z najmniejszą liczbą cyfr znaczących.

Jeśli podzielisz $12.11$ przez $4.2$, kalkulator poda:

$$\frac{12.11}{4.2} = 2.88333\ldots$$

Ale $12.11$ ma $4$ cyfry znaczące, a $4.2$ ma $2$. Dlatego podany wynik powinien mieć $2$ cyfry znaczące:

$$2.9$$

Miejsca po przecinku przy dodawaniu i odejmowaniu

Gdy wielkości są dodawane lub odejmowane, ograniczenie wynika z miejsca po przecinku, a nie z całkowitej liczby cyfr znaczących.

Na przykład:

$$12.11 + 0.3 = 12.41$$

Liczba $0.3$ jest dokładna tylko do części dziesiątych, więc podany wynik również powinien kończyć się na części dziesiątych:

$$12.4$$

To właśnie tę zasadę uczniowie najczęściej mylą. Mnożenie i dodawanie nie są zaokrąglane w ten sam sposób.

Przykład krok po kroku: obliczanie gęstości z użyciem cyfr znaczących

Załóżmy, że próbka ma zmierzoną masę $12.11\ \mathrm{g}$ i zmierzoną objętość $4.2\ \mathrm{mL}$. Oblicz gęstość.

Użyj wzoru na gęstość:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

Podstaw wartości:

$$\rho = \frac{12.11\ \mathrm{g}}{4.2\ \mathrm{mL}} = 2.88333\ldots\ \mathrm{g/mL}$$

Teraz zastosuj właściwą zasadę zaokrąglania.

• $12.11$ ma $4$ cyfry znaczące.
• $4.2$ ma $2$ cyfry znaczące.

Ponieważ jest to dzielenie, wynik powinien mieć $2$ cyfry znaczące:

$$\rho \approx 2.9\ \mathrm{g/mL}$$

Najważniejsze nie są tu same rachunki. Najważniejsze jest to, że pomiar objętości ogranicza dokładność podanej gęstości.

Co robić w wieloetapowych zadaniach z chemii

Wiele zadań z chemii łączy kilka etapów, takich jak obliczanie masy molowej, stechiometria czy stężenie. W takich przypadkach zwykle najlepiej zachować dodatkowe cyfry w obliczeniach pośrednich i zaokrąglić dopiero końcową podawaną wartość.

Pomaga to uniknąć kumulowania się małych zmian wynikających z zaokrągleń. Daje też większą szansę na zastosowanie właściwej zasady do wielkości, którą rzeczywiście podajesz na końcu.

Jeśli w którymś kroku pojawia się liczba dokładna, taka jak współczynnik w równaniu bilansowanym, policzona liczba cząstek albo zdefiniowane przeliczenie typu $1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s}$, to taka liczba dokładna zwykle nie wyznacza granicy cyfr znaczących. Ograniczenie zwykle wynika z danych mierzonych, takich jak masa, objętość, temperatura czy stężenie.

Typowe błędy związane z cyframi znaczącymi

Stosowanie jednej zasady do wszystkich działań

To największy błąd. Przy mnożeniu i dzieleniu stosuje się najmniejszą liczbę cyfr znaczących. Przy dodawaniu i odejmowaniu stosuje się najmniej dokładne miejsce po przecinku.

Zbyt wczesne zaokrąglanie

Jeśli zbyt wcześnie zamienisz $2.88333\ldots$ na $2.9$, a potem będziesz dalej liczyć, wynik końcowy może zmienić się bardziej, niż powinien. Jeśli to możliwe, zachowuj dodatkowe cyfry aż do końca.

Pozwalanie, by liczby dokładne ograniczały wynik

Współczynniki w równaniu bilansowanym, policzone obiekty i zdefiniowane przeliczenia są zwykle dokładne. Zwykle nie zmniejszają dokładności wyniku opartego na pomiarze.

Ignorowanie znaczenia zer końcowych

$2.0\ \mathrm{mL}$ i $2.00\ \mathrm{mL}$ nie przekazują tej samej dokładności. W chemii te zera mogą mieć znaczenie, ponieważ zmieniają liczbę cyfr znaczących.

Gdzie używa się cyfr znaczących w chemii

Zasady cyfr znaczących mają znaczenie wszędzie tam, gdzie chemia opiera się na danych pomiarowych: przy gęstości, molowości, miareczkowaniu, stechiometrii, kalorymetrii i w sprawozdaniach laboratoryjnych.

W prawdziwej pracy laboratoryjnej nie jest to tylko szkolna konwencja. Podanie zbyt wielu cyfr może sprawić, że wynik będzie wyglądał na dokładniejszy, niż pozwala na to sam proces pomiaru.

Szybka kontrola przed oddaniem odpowiedzi

Zanim zaakceptujesz wynik końcowy, zadaj sobie pytania:

1. Czy ostatnia podawana wielkość powstała przez mnożenie lub dzielenie, czy przez dodawanie lub odejmowanie?
2. Która wartość mierzona rzeczywiście ogranicza dokładność?
3. Czy zaokrągliłem dopiero po zakończeniu obliczeń?

Jeśli potrafisz jasno odpowiedzieć na te trzy pytania, Twój wynik z cyframi znaczącymi jest zwykle poprawny.

Spróbuj podobnego zadania

Zmień nieco przykład z gęstością, na przykład użyj $12.108\ \mathrm{g}$ i $4.25\ \mathrm{mL}$, i przejdź przez obliczenia jeszcze raz. To szybki sposób, by sprawdzić, czy zasada ma sens, zanim spotkasz ją w dłuższym zadaniu ze stechiometrii lub miareczkowania.