Stichprobenverfahren — zufällig, geschichtet & systematisch

Stichprobenverfahren sind die Regeln, nach denen eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit ausgewählt wird. In der Statistik ist das Verfahren wichtig, weil eine verzerrte Stichprobe schon vor jeder Rechnung zu einem irreführenden Ergebnis führen kann.

Die drei häufigen Verfahren sind einfache Zufallsstichprobe, geschichtete Stichprobe und systematische Stichprobe. Welche Wahl richtig ist, hängt von der Grundgesamtheit, der vorhandenen Liste und davon ab, ob wichtige Gruppen getrennt vertreten sein müssen.

Stichprobenverfahren im Überblick

Bei der einfachen Zufallsstichprobe entscheidet nur der Zufall, sodass jedes Mitglied der Grundgesamtheit die gleiche Auswahlchance hat.

Die geschichtete Stichprobe teilt die Grundgesamtheit in sinnvolle Gruppen, sogenannte Schichten, und zieht dann innerhalb jeder Gruppe zufällig eine Stichprobe. Verwende sie, wenn diese Gruppen für die Fragestellung wichtig sind.

Die systematische Stichprobe beginnt an einem zufälligen Punkt in einer Liste und nimmt dann jedes $k$-te Element. Sie ist schnell, funktioniert aber nur gut, wenn die Reihenfolge der Liste kein sich wiederholendes Muster enthält, das mit dem zusammenhängt, was du misst.

Wann man welches Stichprobenverfahren verwendet

Verwende die einfache Zufallsstichprobe, wenn die Grundgesamtheit bereits eine gemischte Gesamtgruppe ist und du vor allem faire Auswahl durch Zufall willst.

Verwende die geschichtete Stichprobe, wenn einige Gruppen so wichtig sind, dass eine normale Zufallsstichprobe sie übersehen oder unterrepräsentieren könnte.

Verwende die systematische Stichprobe, wenn du eine lange geordnete Liste hast und eine praktische Regel wie „nimm jeden 10. Namen“ anwenden willst. Die Bedingung ist wichtig: Wenn die Reihenfolge der Liste einen verborgenen Zyklus hat, kann das Verfahren das Ergebnis verzerren.

Wenn du eine schnelle Regel willst, frage dich Folgendes:

• Ist die Grundgesamtheit im Wesentlichen eine gemischte Gruppe? Dann verwende eine einfache Zufallsstichprobe.
• Müssen bestimmte Gruppen zuverlässig vertreten sein? Dann verwende eine geschichtete Stichprobe.
• Hast du eine lange neutrale Liste und brauchst ein schnelles Verfahren? Dann verwende eine systematische Stichprobe.

Durchgerechnetes Beispiel: Die geschichtete Stichprobe hält wichtige Gruppen in der Stichprobe

Angenommen, eine Schule möchte Lerngewohnheiten untersuchen. Es gibt $100$ Schülerinnen und Schüler: $60$ aus der 11. Klasse und $40$ aus der 12. Klasse. Die Schule möchte eine Stichprobe von $20$ Lernenden.

Mit einer einfachen Zufallsstichprobe könnte das Ergebnis nahe an der tatsächlichen Verteilung liegen, aber der Zufall könnte trotzdem zu viele aus der 11. oder zu viele aus der 12. Klasse liefern.

Mit einer geschichteten Stichprobe behält die Schule dieselben Anteile in der Stichprobe bei:

$$20 \cdot \frac{60}{100} = 12$$ $$20 \cdot \frac{40}{100} = 8$$

Die Stichprobe enthält also $12$ Lernende aus der 11. Klasse und $8$ aus der 12. Klasse, jeweils zufällig innerhalb der Jahrgangsgruppe ausgewählt. Das ist hier sinnvoll, weil die Jahrgangsstufe die Lerngewohnheiten beeinflussen könnte und die Schule beide Gruppen im gleichen Verhältnis wie in der Grundgesamtheit vertreten haben möchte.

Eine geschichtete Stichprobe ist nicht in jedem Problem automatisch besser. Sie hilft, wenn die Gruppen sinnvoll sind und du Wert darauf legst, jede davon gut zu repräsentieren.

So funktioniert die systematische Stichprobe

Stell dir vor, dieselbe Schule hat eine Liste mit $100$ Schülerinnen und Schülern und möchte eine Stichprobe von $10$. Ein häufiges Intervall ist

$$k = \frac{100}{10} = 10$$

Die Schule könnte also einen zufälligen Startpunkt von $1$ bis $10$ wählen und danach jede $10$-te Person nehmen.

Das ist effizient, hat aber eine Schwäche. Wenn die Liste in einer sich wiederholenden Weise angeordnet ist, etwa nach Unterrichtsblock oder Programm, könnte jede $10$-te Auswahl zu oft denselben Typ von Schüler oder Schülerin treffen. Dann wird die praktische Einfachheit des Verfahrens zur Quelle einer Verzerrung.

Häufige Fehler, die eine Stichprobe verzerren

Jede Stichprobe als zufällig bezeichnen

Eine Stichprobe ist nicht zufällig, nur weil die auswählende Person nicht sorgfältig geplant hat. Zufallsstichproben brauchen eine regelbasierte Auswahl durch Zufall.

Geschichtete Stichproben ohne echten Grund für die Gruppen verwenden

Die Gruppen sollten für die Fragestellung wichtig sein. Wenn die Schichten willkürlich sind, bringt die zusätzliche Komplexität vielleicht keinen Vorteil.

Die Reihenfolge bei systematischen Stichproben ignorieren

Systematische Stichproben sind nur dann unbedenklich, wenn die Reihenfolge der Liste kein problematisches Muster im Verhältnis zum Intervall erzeugt.

Eine Stichprobe mit der gesamten Grundgesamtheit verwechseln

Auch eine gute Stichprobe bleibt eine Stichprobe. Sie liefert eine Schätzung, keine perfekte Sicherheit.

Wo Stichprobenverfahren verwendet werden

Stichprobenverfahren kommen in Umfragen, Meinungsforschung, Qualitätskontrolle, Experimenten, Studien im öffentlichen Gesundheitswesen und Datenprojekten im Unterricht vor. In jedem Fall wird zuerst die Stichprobe ausgewählt und erst danach analysiert.

Deshalb gehört die Stichprobenziehung an den Anfang der Statistik, nicht ans Ende. Wenn die Stichprobe schwach ist, können auch die daraus gebildeten Mittelwerte, Diagramme und Schlussfolgerungen schwach sein.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Nimm eine Grundgesamtheit, die du gut kennst, zum Beispiel eine Klasse, einen Verein oder eine Produktliste. Wähle ein Stichprobenverfahren und begründe es in einem Satz. Wenn du eine systematische Stichprobe wählst, gib das Intervall an und prüfe, ob es ein sich wiederholendes Muster gibt. Wenn du eine geschichtete Stichprobe wählst, erkläre, warum die Gruppen wichtig sind, bevor du die Stichprobengrößen berechnest.