Cơ học Hamilton — Không gian pha và phương trình Hamilton

Cơ học Hamilton viết lại cơ học cổ điển theo các tọa độ suy rộng $q_i$ và các xung lượng liên hợp $p_i$. Thay vì một phương trình vi phân bậc hai cho vị trí, ta có hai phương trình bậc nhất liên kết với nhau, cho thấy hệ chuyển động như thế nào trong không gian pha.

Với một hệ có các tọa độ $q_i$, xung lượng $p_i$, và Hamiltonian $H(q,p,t)$, các phương trình chuyển động là

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

Nếu bạn tìm kiếm “cơ học Hamilton là gì?”, thì đây là câu trả lời cốt lõi: đó là dạng biểu diễn cơ học trong không gian pha, nơi $H$ sinh ra sự tiến hóa theo thời gian của $q_i$ và $p_i$.

Hamiltonian có ý nghĩa gì

Hamiltonian là một hàm của các biến xác định trạng thái của hệ. Vai trò chính của nó là sinh ra các phương trình chuyển động.

Trong nhiều ví dụ cơ học tiêu chuẩn, $H$ cũng bằng tổng năng lượng được viết theo tọa độ và xung lượng. Tuy nhiên, sự đồng nhất đó cần có điều kiện, nên cách nói an toàn hơn là Hamiltonian thường trùng với tổng năng lượng, nhưng không phải trong mọi cách xây dựng.

Không gian pha cho ta thấy gì

Không gian pha là không gian có các trục là các tọa độ và các xung lượng liên hợp tương ứng. Với một bậc tự do, một trạng thái là một điểm $(q,p)$, nên không gian pha có hai chiều. Với $N$ bậc tự do, không gian pha có $2N$ chiều.

Đó là lý do không gian pha hữu ích. Không gian thông thường cho biết hạt đang ở đâu. Không gian pha cho biết nó ở đâu và xung lượng đi kèm với tọa độ đó. Một điểm trong không gian pha biểu diễn một trạng thái tức thời đầy đủ của mô hình.

Khi thời gian trôi đi, điểm đó vạch ra một đường cong. Phương trình Hamilton cho biết hướng chuyển động dọc theo đường cong ấy.

Vì sao phương trình Hamilton hữu ích

Phương trình Hamilton tách động lực học thành hai phần rõ ràng:

• $\dot{q}_i$ xuất phát từ cách $H$ thay đổi theo xung lượng
• $\dot{p}_i$ xuất phát từ cách $H$ thay đổi theo vị trí

Cấu trúc đó hữu ích vì nó biến cơ học thành một bài toán không gian trạng thái nhất quán. Nó đặc biệt quan trọng trong cơ học nâng cao, cơ học thống kê, và như một cầu nối tới cơ học lượng tử.

Ngay cả trong một khóa học nhập môn, lợi ích của nó vẫn là sự rõ ràng. Bạn có thể thấy tọa độ, xung lượng, các định luật bảo toàn, và hình học khớp với nhau trong một khung thống nhất.

Ví dụ có lời giải: dao động điều hòa 1D

Xét một vật khối lượng $m$ gắn với một lò xo lý tưởng có độ cứng $k$. Gọi tọa độ là $q$ và xung lượng liên hợp là $p$.

Với hệ này,

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2$$

Hạng thứ nhất là động năng viết theo xung lượng, còn hạng thứ hai là thế năng đàn hồi của lò xo.

Bây giờ áp dụng phương trình Hamilton:

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ $$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -kq$$

Hai phương trình bậc nhất đó đã mô tả đầy đủ chuyển động. Để nối chúng với dạng bậc hai quen thuộc, hãy lấy đạo hàm theo thời gian của $\dot{q} = p/m$:

$$\ddot{q} = \frac{\dot{p}}{m}$$

Sau đó thay $\dot{p} = -kq$:

$$\ddot{q} = -\frac{k}{m}q$$

Vậy ta thu lại phương trình dao động điều hòa đơn quen thuộc.

Đây là ý chính của ví dụ này: cơ học Hamilton không mô tả một dao động tử khác. Nó mô tả cùng một vật lý, nhưng dưới một dạng thường dễ khái quát hóa hơn.

Những lỗi thường gặp trong cơ học Hamilton

Cho rằng Hamiltonian luôn là tổng năng lượng

Điều đó đúng với nhiều hệ cơ học tiêu chuẩn, nhưng không phải là quy tắc phổ quát. Cách nói an toàn hơn là Hamiltonian sinh ra sự tiến hóa theo thời gian, và trong nhiều trường hợp quen thuộc nó cũng bằng tổng năng lượng.

Nhầm lẫn không gian pha với không gian thông thường

Không gian pha bao gồm cả các tọa độ xung lượng lẫn các tọa độ vị trí. Một điểm trong không gian pha không chỉ là một vị trí trong phòng hay trên một đường thẳng.

Xem $p$ luôn giống $mv$ trong mọi hệ tọa độ

Trong các trường hợp Descartes đơn giản, xung lượng thường có dạng $p = mv$. Trong các tọa độ tổng quát hơn, xung lượng liên hợp phải được xác định từ mô hình, không thể đoán chỉ từ công thức đó.

Nghĩ rằng phương trình bậc nhất kém đầy đủ hơn

Phương trình Hamilton là bậc nhất, nhưng khi đi cùng nhau chúng chứa cùng thông tin động lực học như các phương trình bậc hai quen thuộc của cùng một hệ.

Khi nào dùng cơ học Hamilton

Cơ học Hamilton hữu ích khi bạn muốn có một cái nhìn có cấu trúc về động lực học cổ điển, đặc biệt với các hệ có nhiều bậc tự do, các đại lượng bảo toàn, hoặc tính đối xứng. Nó cũng là cầu nối tự nhiên tới các ý tưởng trong cơ học thống kê và lý thuyết lượng tử.

Với các bài toán đơn giản hơn, các định luật Newton có thể là con đường nhanh nhất. Cơ học Hamilton trở nên đặc biệt giá trị khi hình học của hệ quan trọng không kém việc tính lực.

Hãy thử một bài cơ học Hamilton tương tự

Bắt đầu từ

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + mgq$$

cho một hạt chuyển động theo phương thẳng đứng gần bề mặt Trái Đất. Dùng phương trình Hamilton để tìm $\dot{q}$ và $\dot{p}$, rồi so sánh kết quả với mô hình gia tốc không đổi mà bạn đã biết.

Nếu bạn muốn một bước tiếp theo tự nhiên, hãy so sánh trang này với simple harmonic motion. Điều đó giúp bạn thấy cùng một dao động tử được mô tả như thế nào trong ngôn ngữ Newton và trong ngôn ngữ Hamilton.