ハミルトン力学 — 位相空間とハミルトンの方程式

ハミルトン力学は、古典力学を一般化座標 $q_i$ と共役運動量 $p_i$ を使って書き直す方法です。位置についての1本の2階微分方程式の代わりに、互いに結びついた2本の1階微分方程式を用いて、系が位相空間の中をどう動くかを表します。

座標 $q_i$、運動量 $p_i$、ハミルトニアン $H(q,p,t)$ をもつ系では、運動方程式は

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

となります。

「ハミルトン力学とは？」と調べたなら、これが中心となる答えです。つまり、$H$ が $q_i$ と $p_i$ の時間発展を生み出す、位相空間での力学の表現です。

ハミルトニアンの意味

ハミルトニアンは、状態を定める変数の関数です。その主な役割は、運動方程式を生成することにあります。

標準的な力学の多くの例では、$H$ は座標と運動量で表した全エネルギーにもなります。ただし、この同一視には条件が必要です。したがって、より安全な言い方は、ハミルトニアンはしばしば全エネルギーに一致するが、どの定式化でも必ずそうとは限らない、というものです。

位相空間が示すもの

位相空間とは、座標とそれに対応する共役運動量を軸にもつ空間です。自由度が1つなら、状態は点 $(q,p)$ で表されるので、位相空間は2次元です。自由度が $N$ 個なら、位相空間は $2N$ 次元になります。

位相空間が役立つ理由はここにあります。通常の空間は粒子がどこにいるかを教えてくれます。位相空間は、それに加えて、その座標に対応する運動量も教えてくれます。位相空間上の1点は、モデルのある瞬間の完全な状態1つを表します。

時間がたつと、その点は曲線を描きます。ハミルトンの方程式は、その曲線に沿った運動の向きを与えます。

ハミルトンの方程式が役立つ理由

ハミルトンの方程式は、力学を2つのすっきりした部分に分けます。

• $\dot{q}_i$ は、$H$ が運動量に対してどう変化するかから決まる
• $\dot{p}_i$ は、$H$ が位置に対してどう変化するかから決まる

この構造が便利なのは、力学を一貫した状態空間の問題として扱えるからです。特に、解析力学、統計力学、そして量子力学への橋渡しとして重要です。

初学者向けの授業でも、その利点は明快さにあります。座標、運動量、保存則、幾何学が1つの枠組みの中でどう結びつくかを見通せます。

計算例：1次元調和振動子

質量 $m$ の物体が、ばね定数 $k$ の理想的なばねにつながれているとします。座標を $q$、共役運動量を $p$ とします。

この系では、

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2$$

です。

第1項は運動量で表した運動エネルギーで、第2項はばねの位置エネルギーです。

ここでハミルトンの方程式を適用すると、

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ $$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -kq$$

となります。

この2本の1階方程式だけで、すでに運動は記述されています。これを見慣れた2階の形に結びつけるには、$\dot{q} = p/m$ を時間で微分します。

$$\ddot{q} = \frac{\dot{p}}{m}$$

次に $\dot{p} = -kq$ を代入すると、

$$\ddot{q} = -\frac{k}{m}q$$

となります。

こうして、通常の単振動の方程式が得られます。

この例からの重要なポイントは次のことです。ハミルトン力学は別の振動子を記述しているのではありません。同じ物理を、より一般化しやすい形で記述しているのです。

ハミルトン力学でよくある間違い

ハミルトニアンは常に全エネルギーだと思い込む

これは多くの標準的な力学系では成り立ちますが、普遍的なルールではありません。より安全な言い方は、ハミルトニアンは時間発展を生成し、多くのよくある場合には全エネルギーにも一致する、というものです。

位相空間と通常の空間を混同する

位相空間には、位置座標だけでなく運動量座標も含まれます。位相空間上の1点は、部屋の中や直線上の単なる位置ではありません。

どの座標系でも $p$ は $mv$ と同じだと考える

単純なデカルト座標では、運動量はしばしば $p = mv$ の形になります。しかし、より一般の座標では、共役運動量はその式から推測するのではなく、モデルから定義しなければなりません。

1階方程式は情報が少ないと思う

ハミルトンの方程式は1階ですが、2本を合わせれば、同じ系に対する見慣れた2階の運動方程式と同じ力学的情報を含んでいます。

ハミルトン力学はいつ使われるか

ハミルトン力学は、古典的な運動を構造的にとらえたいときに有用です。特に、自由度が多い系、保存量がある系、対称性をもつ系で力を発揮します。また、統計力学や量子論の考え方へ進むための自然な橋渡しでもあります。

より単純な問題では、ニュートンの法則が最短ルートかもしれません。ハミルトン力学が特に価値をもつのは、力の計算と同じくらい系の幾何学が重要になるときです。

似たハミルトン力学の問題に挑戦してみよう

地表付近を鉛直方向に動く粒子に対して、

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + mgq$$

から始めてみましょう。ハミルトンの方程式を使って $\dot{q}$ と $\dot{p}$ を求め、その結果を、すでに知っている等加速度運動のモデルと比べてみてください。

自然な次の一歩としては、このページを 単振動 と見比べるのがおすすめです。同じ振動子が、ニュートン力学の言葉とハミルトン力学の言葉でどう見えるかを比べると理解が深まります。