กลศาสตร์แฮมิลตัน — ปริภูมิเฟสและสมการของแฮมิลตัน

กลศาสตร์แฮมิลตันเขียนกลศาสตร์คลาสสิกใหม่ในรูปของพิกัดทั่วไป $q_i$ และโมเมนตัมคอนจูเกต $p_i$ แทนที่จะใช้สมการอันดับสองเพียงสมการเดียวสำหรับตำแหน่ง เราจะได้สมการอันดับหนึ่งสองสมการที่เชื่อมโยงกัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าระบบเคลื่อนที่ผ่านปริภูมิเฟสอย่างไร

สำหรับระบบที่มีพิกัด $q_i$ โมเมนตัม $p_i$ และแฮมิลโทเนียน $H(q,p,t)$ สมการการเคลื่อนที่คือ

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

ถ้าคุณค้นหาว่า "กลศาสตร์แฮมิลตันคืออะไร?" นี่คือคำตอบหลัก: มันคือรูปแบบของกลศาสตร์ในปริภูมิเฟสที่ $H$ เป็นตัวกำหนดวิวัฒนาการตามเวลาของ $q_i$ และ $p_i$

แฮมิลโทเนียนหมายถึงอะไร

แฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่ใช้กำหนดสถานะของระบบ หน้าที่หลักของมันคือสร้างสมการการเคลื่อนที่

ในตัวอย่างกลศาสตร์มาตรฐานหลายกรณี $H$ ยังเท่ากับพลังงานรวมที่เขียนในรูปของพิกัดและโมเมนตัมด้วย แต่การระบุเช่นนี้ต้องมีเงื่อนไข ดังนั้นคำกล่าวที่ปลอดภัยกว่าคือ แฮมิลโทเนียนมักตรงกับพลังงานรวม แต่ไม่ใช่ทุกการจัดรูปแบบ

ปริภูมิเฟสแสดงอะไร

ปริภูมิเฟสคือปริภูมิที่แกนต่าง ๆ เป็นพิกัดและโมเมนตัมคอนจูเกตของพิกัดเหล่านั้น สำหรับหนึ่งองศาอิสระ สถานะหนึ่งคือจุด $(q,p)$ ดังนั้นปริภูมิเฟสจึงมีสองมิติ สำหรับ $N$ องศาอิสระ ปริภูมิเฟสจะมี $2N$ มิติ

นี่คือเหตุผลที่ปริภูมิเฟสมีประโยชน์ ปริภูมิธรรมดาบอกว่ามวลอนุภาคอยู่ที่ไหน แต่ปริภูมิเฟสบอกทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมที่จับคู่กับพิกัดนั้น จุดหนึ่งในปริภูมิเฟสแทนสถานะฉับพลันที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะของแบบจำลอง

เมื่อเวลาผ่านไป จุดนั้นจะลากเส้นโค้งออกมา สมการของแฮมิลตันบอกทิศทางการเคลื่อนที่ตามเส้นโค้งนั้น

ทำไมสมการของแฮมิลตันจึงมีประโยชน์

สมการของแฮมิลตันแยกพลวัตออกเป็นสองส่วนที่ชัดเจน:

• $\dot{q}_i$ มาจากการที่ $H$ เปลี่ยนไปตามโมเมนตัม
• $\dot{p}_i$ มาจากการที่ $H$ เปลี่ยนไปตามตำแหน่ง

โครงสร้างนี้มีประโยชน์เพราะทำให้กลศาสตร์กลายเป็นปัญหาปริภูมิสถานะที่เป็นระบบเดียวกัน มันมีคุณค่าอย่างยิ่งในกลศาสตร์ขั้นสูง กลศาสตร์สถิติ และในฐานะสะพานไปสู่กลศาสตร์ควอนตัม

แม้ในวิชาเบื้องต้น สิ่งที่ได้คือความชัดเจน คุณจะเห็นได้ว่าพิกัด โมเมนตัม กฎการอนุรักษ์ และเรขาคณิต เชื่อมโยงกันอย่างไรภายในกรอบเดียว

ตัวอย่างคำนวณ: ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกหนึ่งมิติ

พิจารณามวล $m$ ที่ติดกับสปริงอุดมคติซึ่งมีค่าคงที่สปริง $k$ ให้พิกัดเป็น $q$ และโมเมนตัมคอนจูเกตเป็น $p$

สำหรับระบบนี้

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2$$

พจน์แรกคือพลังงานจลน์ที่เขียนในรูปของโมเมนตัม และพจน์ที่สองคือพลังงานศักย์ของสปริง

ตอนนี้ใช้สมการของแฮมิลตัน:

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ $$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -kq$$

สมการอันดับหนึ่งสองสมการนี้ก็อธิบายการเคลื่อนที่ได้ครบแล้ว เพื่อเชื่อมโยงกับรูปแบบอันดับสองที่คุ้นเคย ให้หาอนุพันธ์ของ $\dot{q} = p/m$ ตามเวลา:

$$\ddot{q} = \frac{\dot{p}}{m}$$

จากนั้นแทน $\dot{p} = -kq$:

$$\ddot{q} = -\frac{k}{m}q$$

ดังนั้นคุณจะได้สมการการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายแบบเดิมกลับมา

นี่คือข้อสรุปสำคัญจากตัวอย่างนี้: กลศาสตร์แฮมิลตันไม่ได้อธิบายออสซิลเลเตอร์คนละตัว มันอธิบายฟิสิกส์เดียวกันในรูปแบบที่มักขยายต่อได้ง่ายกว่า

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในกลศาสตร์แฮมิลตัน

คิดว่าแฮมิลโทเนียนคือพลังงานรวมเสมอ

สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับระบบกลศาสตร์มาตรฐานหลายระบบ แต่ไม่ใช่กฎสากล คำกล่าวที่ปลอดภัยกว่าคือ แฮมิลโทเนียนเป็นตัวกำหนดวิวัฒนาการตามเวลา และในหลายกรณีที่พบบ่อยมันก็เท่ากับพลังงานรวมด้วย

สับสนระหว่างปริภูมิเฟสกับปริภูมิธรรมดา

ปริภูมิเฟสมีทั้งพิกัดโมเมนตัมและพิกัดตำแหน่ง จุดในปริภูมิเฟสไม่ได้เป็นเพียงตำแหน่งในห้องหรือบนเส้นตรงเท่านั้น

มองว่า $p$ เหมือนกับ $mv$ ในทุกระบบพิกัด

ในกรณีคาร์ทีเซียนอย่างง่าย โมเมนตัมมักมีรูปเป็น $p = mv$ แต่ในพิกัดที่ทั่วไปกว่า โมเมนตัมคอนจูเกตต้องนิยามจากแบบจำลอง ไม่ใช่เดาจากสูตรนั้น

คิดว่าสมการอันดับหนึ่งให้ข้อมูลไม่ครบ

สมการของแฮมิลตันเป็นสมการอันดับหนึ่ง แต่เมื่อพิจารณาร่วมกันแล้ว มันมีข้อมูลพลวัตครบเท่ากับสมการอันดับสองที่คุ้นเคยสำหรับระบบเดียวกัน

กลศาสตร์แฮมิลตันใช้เมื่อไร

กลศาสตร์แฮมิลตันมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการมุมมองที่เป็นระบบของพลวัตแบบคลาสสิก โดยเฉพาะสำหรับระบบที่มีหลายองศาอิสระ มีปริมาณอนุรักษ์ หรือมีสมมาตร นอกจากนี้ยังเป็นสะพานตามธรรมชาติไปสู่แนวคิดในกลศาสตร์สถิติและทฤษฎีควอนตัม

สำหรับปัญหาที่ง่ายกว่า กฎของนิวตันอาจเป็นทางลัดที่เร็วที่สุด แต่กลศาสตร์แฮมิลตันจะมีคุณค่าเป็นพิเศษเมื่อเรขาคณิตของระบบสำคัญพอ ๆ กับการคำนวณแรง

ลองทำโจทย์กลศาสตร์แฮมิลตันที่คล้ายกัน

เริ่มจาก

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + mgq$$

สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในแนวดิ่งใกล้ผิวโลก ใช้สมการของแฮมิลตันเพื่อหา $\dot{q}$ และ $\dot{p}$ แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์กับแบบจำลองความเร่งคงตัวที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้ว

ถ้าคุณอยากต่อยอดแบบเป็นธรรมชาติ ลองเปรียบเทียบหน้านี้กับ simple harmonic motion จะช่วยให้เห็นว่าออสซิลเลเตอร์ตัวเดียวกันมีหน้าตาอย่างไรในภาษาของนิวตันและในภาษาของแฮมิลตัน