해밀토니안 역학 — 위상공간과 해밀턴 방정식

해밀토니안 역학은 고전역학을 일반화 좌표 $q_i$와 그에 대응하는 켤레운동량 $p_i$로 다시 표현하는 방식입니다. 위치에 대한 하나의 2차 미분방정식 대신, 계가 위상공간에서 어떻게 움직이는지를 보여 주는 서로 연결된 두 개의 1차 방정식을 사용합니다.

좌표 $q_i$, 운동량 $p_i$, 해밀토니안 $H(q,p,t)$를 갖는 계에 대해 운동방정식은 다음과 같습니다.

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

만약 "해밀토니안 역학이란 무엇인가?"를 찾고 있었다면, 이것이 핵심 답입니다. 해밀토니안 역학은 $H$가 $q_i$와 $p_i$의 시간에 따른 변화를 만들어 내는 위상공간 형태의 역학입니다.

해밀토니안의 의미

해밀토니안은 계의 상태를 정하는 변수들의 함수입니다. 가장 중요한 역할은 운동방정식을 생성하는 것입니다.

많은 표준적인 역학 예제에서 $H$는 좌표와 운동량으로 쓴 전체 에너지와 같기도 합니다. 하지만 이 동일시는 특정 조건이 필요하므로, 더 안전한 표현은 해밀토니안이 전체 에너지와 일치하는 경우가 많지만 모든 정식화에서 항상 그런 것은 아니라는 것입니다.

위상공간이 보여 주는 것

위상공간은 좌표축이 좌표와 그에 대응하는 켤레운동량으로 이루어진 공간입니다. 자유도가 하나이면 상태는 점 $(q,p)$로 나타나므로 위상공간은 2차원입니다. 자유도가 $N$개이면 위상공간은 $2N$차원입니다.

이 때문에 위상공간은 유용합니다. 보통의 공간은 입자가 어디에 있는지만 알려 줍니다. 위상공간은 입자의 위치와 그 좌표에 짝지어진 운동량을 함께 보여 줍니다. 위상공간의 한 점은 모형의 완전한 순간 상태 하나를 나타냅니다.

시간이 지나면 그 점은 하나의 곡선을 그리게 됩니다. 해밀턴 방정식은 그 곡선을 따라 운동하는 방향을 알려 줍니다.

해밀턴 방정식이 왜 유용한가

해밀턴 방정식은 동역학을 두 개의 깔끔한 부분으로 나눕니다.

• $\dot{q}_i$는 $H$가 운동량에 따라 어떻게 변하는지에서 나옵니다
• $\dot{p}_i$는 $H$가 위치에 따라 어떻게 변하는지에서 나옵니다

이 구조가 유용한 이유는 역학을 일관된 상태공간 문제로 바꾸어 주기 때문입니다. 특히 고급 역학, 통계역학, 그리고 양자역학으로 이어지는 연결고리로서 큰 가치를 가집니다.

입문 과정에서도 장점은 분명합니다. 좌표, 운동량, 보존법칙, 기하학이 하나의 틀 안에서 어떻게 연결되는지 볼 수 있습니다.

예제로 보기: 1차원 조화진동자

질량이 $m$이고 용수철 상수가 $k$인 이상적인 용수철에 연결된 물체를 생각해 봅시다. 좌표를 $q$, 켤레운동량을 $p$라고 하겠습니다.

이 계에서

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2$$

입니다.

첫 번째 항은 운동량으로 쓴 운동에너지이고, 두 번째 항은 용수철의 퍼텐셜에너지입니다.

이제 해밀턴 방정식을 적용하면

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$$ $$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -kq$$

를 얻습니다.

이 두 개의 1차 방정식만으로도 이미 운동이 완전히 기술됩니다. 이를 익숙한 2차 형태와 연결하려면 $\dot{q} = p/m$를 시간에 대해 한 번 더 미분합니다.

$$\ddot{q} = \frac{\dot{p}}{m}$$

그다음 $\dot{p} = -kq$를 대입하면

$$\ddot{q} = -\frac{k}{m}q$$

가 됩니다.

따라서 우리가 잘 아는 단순 조화운동 방정식을 다시 얻습니다.

이 예제의 핵심은 다음과 같습니다. 해밀토니안 역학은 전혀 다른 진동자를 설명하는 것이 아닙니다. 같은 물리를, 더 일반화하기 쉬운 형태로 표현하는 것입니다.

해밀토니안 역학에서 자주 하는 실수

해밀토니안이 항상 전체 에너지라고 가정하기

많은 표준적인 역학계에서는 맞는 말이지만, 보편적인 규칙은 아닙니다. 더 안전한 표현은 해밀토니안이 시간에 따른 변화를 생성하며, 많은 흔한 경우에는 전체 에너지와도 같다는 것입니다.

위상공간과 보통의 공간을 혼동하기

위상공간에는 위치 좌표뿐 아니라 운동량 좌표도 포함됩니다. 위상공간의 한 점은 방 안의 위치나 직선 위의 위치만을 뜻하는 것이 아닙니다.

모든 좌표계에서 $p$를 항상 $mv$와 같다고 생각하기

단순한 데카르트 좌표계에서는 운동량이 종종 $p = mv$처럼 보입니다. 하지만 더 일반적인 좌표에서는 켤레운동량을 그 공식으로 추측하면 안 되고, 모형으로부터 정의해야 합니다.

1차 방정식이 덜 완전하다고 생각하기

해밀턴 방정식은 1차 방정식이지만, 함께 보면 같은 계에 대한 익숙한 2차 방정식과 동일한 동역학 정보를 담고 있습니다.

해밀토니안 역학은 언제 쓰이는가

해밀토니안 역학은 고전 동역학을 구조적으로 보고 싶을 때 유용합니다. 특히 자유도가 많은 계, 보존량이 있는 계, 또는 대칭성이 중요한 계에서 더욱 그렇습니다. 또한 통계역학과 양자이론의 아이디어로 넘어가는 자연스러운 다리 역할도 합니다.

더 단순한 문제에서는 뉴턴의 법칙이 가장 빠른 방법일 수 있습니다. 하지만 힘 계산만큼이나 계의 기하학적 구조가 중요할 때 해밀토니안 역학의 가치가 특히 커집니다.

비슷한 해밀토니안 역학 문제를 풀어 보세요

다음 식에서 시작해 봅시다.

$$H(q,p) = \frac{p^2}{2m} + mgq$$

이는 지표면 근처에서 수직으로 움직이는 입자에 대한 해밀토니안입니다. 해밀턴 방정식을 사용해 $\dot{q}$와 $\dot{p}$를 구한 뒤, 이미 알고 있는 등가속도 운동 모형과 결과를 비교해 보세요.

자연스러운 다음 단계로는 이 페이지를 simple harmonic motion과 비교해 보세요. 같은 조화진동자가 뉴턴 역학의 언어와 해밀토니안의 언어에서 어떻게 보이는지 함께 보면 도움이 됩니다.