Bậc độ lớn — Ước lượng và lũy thừa của 10

Bậc độ lớn mô tả độ lớn của một số bằng các lũy thừa của 10. Nếu một giá trị là $47{,}000$, ý chính là nó nằm ở thang $10^4$, nên bạn có thể hiểu nhanh độ lớn của nó mà không cần chú ý đến từng chữ số.

Có một chi tiết quan trọng: các nguồn khác nhau dùng cụm từ này theo những cách hơi khác nhau. Đôi khi nó có nghĩa là lũy thừa của 10 trong ký hiệu khoa học. Đôi khi nó có nghĩa là lũy thừa của 10 gần nhất. Các quy ước này có liên quan với nhau, nhưng có thể cho ra đáp án khác nhau cho cùng một số.

Bậc độ lớn trong toán học có nghĩa là gì

Viết một số dương dưới dạng ký hiệu khoa học:

$$a \times 10^n \quad \text{with} \quad 1 \le a < 10$$

Số mũ $n$ cho biết thang độ lớn của số đó. Đó là ý tưởng cốt lõi đằng sau bậc độ lớn.

Ví dụ,

$$47{,}000 = 4.7 \times 10^4$$

Vì vậy $47{,}000$ nằm trên thang $10^4$.

Nếu một nguồn nói hai giá trị "cùng bậc độ lớn", điều đó thường có nghĩa là chúng gần nhau trên thang lũy thừa của 10 này. Trong nhiều tình huống thực tế, điều đó có nghĩa là chúng chênh nhau ít hơn một hệ số $10$, nhưng cụm từ này vẫn mang tính xấp xỉ.

Hai quy ước phổ biến cần kiểm tra

Quy ước 1: dùng số mũ trong ký hiệu khoa học

Theo quy ước này, nếu

$$x = a \times 10^n \quad \text{with} \quad 1 \le a < 10$$

thì bậc độ lớn là $10^n$, hay tương đương là số mũ bằng $n$.

Với $47{,}000 = 4.7 \times 10^4$, bậc độ lớn là $10^4$.

Quy ước 2: dùng lũy thừa của 10 gần nhất

Một số sách và giáo viên dùng theo nghĩa là lũy thừa của 10 gần nhất trên thang logarit. Theo quy ước đó, mốc phân chia giữa $10^4$ và $10^5$ là

$$\sqrt{10}\times 10^4 \approx 3.16 \times 10^4$$

Vì $47{,}000 = 4.7 \times 10^4$ lớn hơn mốc này, nên nó được làm tròn thành $10^5$ theo quy ước lũy thừa của 10 gần nhất.

Đó là lý do cụm từ này có thể trông không nhất quán giữa các nguồn. Phép tính là như nhau. Khác nhau là ở quy ước.

Vì sao lũy thừa của 10 giúp ước lượng dễ hơn

Lũy thừa của 10 nén rất nhiều chi tiết vào một thang đo đơn giản.

• $10^3 = 1{,}000$
• $10^6 = 1{,}000{,}000$
• $10^{-3} = 0.001$

Khi đã đặt một đại lượng lên thang đó, việc so sánh gần đúng sẽ dễ hơn nhiều. Một đại lượng gần $10^6$ lớn hơn khoảng ba bậc độ lớn so với một đại lượng gần $10^3$ vì

$$\frac{10^6}{10^3} = 10^3 = 1000$$

Vì vậy, "lớn hơn ba bậc độ lớn" có nghĩa là "lớn hơn khoảng một hệ số $1000$."

Ví dụ có lời giải: cách xác định chênh nhau bao nhiêu bậc độ lớn

Giả sử bạn muốn so sánh nhanh độ lớn của

$$3.2 \times 10^4$$

và

$$8.5 \times 10^6$$

Hãy nhìn vào các số mũ trước. Chúng là $4$ và $6$, nên đại lượng thứ hai lớn hơn hai bậc độ lớn trên thang lũy thừa của 10.

Bạn cũng có thể thấy điều đó từ tỉ số:

$$\frac{8.5 \times 10^6}{3.2 \times 10^4} = \frac{8.5}{3.2} \times 10^2 \approx 2.66 \times 10^2 \approx 266$$

Hệ số chính xác vào khoảng $266$, không phải đúng bằng $100$. Điều đó là bình thường. "Lớn hơn hai bậc độ lớn" có nghĩa là thang lũy thừa của 10 chênh nhau $10^2$, chứ không phải mọi tỉ số đều phải đúng bằng $100$.

Đó là lý do bậc độ lớn hữu ích: bạn nắm được đúng thang độ lớn ngay lập tức, ngay cả trước khi quan tâm đến các chữ số chính xác.

Những lỗi thường gặp với bậc độ lớn

Coi nó là một giá trị chính xác

Bậc độ lớn nói về thang độ lớn, không phải độ chính xác đầy đủ. Nó giúp bạn ước lượng và so sánh nhanh.

Quên mất quy ước đang dùng

Với một số như $4.7 \times 10^4$, một nguồn có thể ghi là $10^4$ còn nguồn khác có thể ghi là $10^5$. Hãy kiểm tra xem nguồn đó đang dùng thang ký hiệu khoa học hay lũy thừa của 10 gần nhất.

Nhầm giữa hệ số 10 và chênh lệch theo lũy thừa của 10

Nếu một đại lượng lớn hơn ba bậc độ lớn, điều đó có nghĩa là lớn hơn khoảng một hệ số $10^3$, chứ không chỉ là "lớn hơn một chút."

Bỏ qua số mũ âm

Các số rất nhỏ cũng có bậc độ lớn. Ví dụ,

$$0.004 = 4 \times 10^{-3}$$

nên nó nằm trên thang $10^{-3}$.

Khi nào bậc độ lớn được sử dụng

Bậc độ lớn được dùng trong ước lượng, vật lý, kỹ thuật, hóa học và phân tích dữ liệu. Nó đặc biệt hữu ích khi giá trị chính xác kém quan trọng hơn thang độ lớn tổng thể.

Nó cũng giúp bạn kiểm tra tính hợp lý của kết quả. Nếu một phép tính cho khối lượng của một chiếc ô tô ra giá trị gần $10^8$ kilôgam, chỉ riêng bậc độ lớn cũng cho bạn biết rằng có lẽ đã có gì đó sai.

Cách nhanh để xác định

Trước hết, hãy viết lại số dưới dạng ký hiệu khoa học. Sau đó hỏi xem lớp học, sách giáo khoa hoặc bài toán của bạn đang dùng quy ước nào. Nếu quy ước không được nêu rõ, thì dùng số mũ trong ký hiệu khoa học thường là cách hiểu an toàn nhất.

Hãy thử một bài tương tự

Lấy hai số $0.0062$ và $540$. Viết cả hai dưới dạng ký hiệu khoa học, so sánh các số mũ của chúng và xác định chúng cách nhau bao nhiêu bậc độ lớn. Sau đó thử dùng quy ước lũy thừa của 10 gần nhất và xem cách diễn đạt có thay đổi hay không.