อันดับขนาด — การประมาณค่าและกำลังของสิบ

อันดับขนาดใช้อธิบายขนาดของจำนวนด้วยกำลังของสิบ ถ้าค่าหนึ่งคือ $47{,}000$ แนวคิดหลักคือมันอยู่ในระดับ $10^4$ จึงช่วยให้เข้าใจขนาดได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องสนใจทุกหลักของตัวเลข

มีรายละเอียดสำคัญอย่างหนึ่งคือ แหล่งข้อมูลต่าง ๆ อาจใช้คำนี้ต่างกันเล็กน้อย บางครั้งหมายถึงเลขชี้กำลังของสิบจากสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ บางครั้งหมายถึงกำลังของสิบที่ใกล้ที่สุด แนวทางทั้งสองเกี่ยวข้องกัน แต่สามารถให้คำตอบต่างกันสำหรับจำนวนเดียวกันได้

อันดับขนาดในคณิตศาสตร์หมายถึงอะไร

เขียนจำนวนบวกให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์:

$$a \times 10^n \quad \text{with} \quad 1 \le a < 10$$

เลขชี้กำลัง $n$ บอกระดับของจำนวน นี่คือแนวคิดหลักของอันดับขนาด

ตัวอย่างเช่น

$$47{,}000 = 4.7 \times 10^4$$

ดังนั้น $47{,}000$ จึงอยู่ในระดับ $10^4$

ถ้าแหล่งข้อมูลบอกว่าค่าสองค่ามี "อันดับขนาดเดียวกัน" โดยทั่วไปหมายความว่าค่าทั้งสองอยู่ใกล้กันบนสเกลกำลังของสิบ ในหลายสถานการณ์จริง นั่นหมายถึงค่าทั้งสองต่างกันน้อยกว่าปัจจัย $10$ แต่คำนี้ก็ยังเป็นการบอกแบบคร่าว ๆ

ข้อตกลงที่ใช้กันบ่อย 2 แบบที่ควรตรวจสอบ

ข้อตกลงแบบที่ 1: ใช้เลขชี้กำลังในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ภายใต้ข้อตกลงนี้ ถ้า

$$x = a \times 10^n \quad \text{with} \quad 1 \le a < 10$$

อันดับขนาดคือ $10^n$ หรือจะพูดเทียบเท่ากันว่าเลขชี้กำลังคือ $n$

สำหรับ $47{,}000 = 4.7 \times 10^4$ อันดับขนาดคือ $10^4$

ข้อตกลงแบบที่ 2: ใช้กำลังของสิบที่ใกล้ที่สุด

หนังสือและครูบางคนใช้คำนี้ให้หมายถึงกำลังของสิบที่ใกล้ที่สุดบนสเกลลอการิทึม ภายใต้ข้อตกลงนี้ จุดแบ่งระหว่าง $10^4$ และ $10^5$ คือ

$$\sqrt{10}\times 10^4 \approx 3.16 \times 10^4$$

เนื่องจาก $47{,}000 = 4.7 \times 10^4$ มากกว่าจุดแบ่งนี้ จึงปัดเป็น $10^5$ ภายใต้ข้อตกลงแบบกำลังของสิบที่ใกล้ที่สุด

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมคำนี้จึงดูไม่สอดคล้องกันในแต่ละแหล่งข้อมูล การคำนวณเหมือนเดิม แต่ข้อตกลงต่างกัน

ทำไมกำลังของสิบจึงช่วยให้ประมาณค่าได้ง่ายขึ้น

กำลังของสิบช่วยย่อรายละเอียดจำนวนมากให้อยู่ในสเกลง่าย ๆ เพียงสเกลเดียว

• $10^3 = 1{,}000$
• $10^6 = 1{,}000{,}000$
• $10^{-3} = 0.001$

เมื่อคุณวางปริมาณหนึ่งลงบนสเกลนี้แล้ว การเปรียบเทียบแบบคร่าว ๆ จะง่ายขึ้นมาก ปริมาณที่อยู่ใกล้ $10^6$ มีขนาดมากกว่าปริมาณที่อยู่ใกล้ $10^3$ ประมาณสามอันดับขนาด เพราะว่า

$$\frac{10^6}{10^3} = 10^3 = 1000$$

ดังนั้นคำว่า "มากกว่าอยู่สามอันดับขนาด" จึงหมายถึง "มากกว่าประมาณ $1000$ เท่า"

ตัวอย่างทำจริง: ต่างกันกี่อันดับขนาด?

สมมติว่าคุณต้องการเปรียบเทียบขนาดอย่างรวดเร็วระหว่าง

$$3.2 \times 10^4$$

และ

$$8.5 \times 10^6$$

ให้ดูเลขชี้กำลังก่อน คือ $4$ และ $6$ ดังนั้นปริมาณที่สองจึงมากกว่าปริมาณแรกอยู่สองอันดับขนาดบนสเกลกำลังของสิบ

คุณจะดูจากอัตราส่วนก็ได้:

$$\frac{8.5 \times 10^6}{3.2 \times 10^4} = \frac{8.5}{3.2} \times 10^2 \approx 2.66 \times 10^2 \approx 266$$

ปัจจัยที่แท้จริงคือประมาณ $266$ ไม่ใช่ $100$ พอดี ซึ่งเป็นเรื่องปกติ คำว่า "มากกว่าสองอันดับขนาด" หมายถึงสเกลกำลังของสิบต่างกัน $10^2$ ไม่ได้หมายความว่าอัตราส่วนทุกกรณีต้องเท่ากับ $100$ เป๊ะ

นี่คือเหตุผลที่อันดับขนาดมีประโยชน์: คุณเห็นระดับที่ถูกต้องได้ทันที แม้ก่อนจะสนใจค่าตัวเลขที่แน่นอน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับอันดับขนาด

มองว่าเป็นค่าที่แน่นอน

อันดับขนาดเกี่ยวกับระดับ ไม่ใช่ความแม่นยำเต็มรูปแบบ มันช่วยให้คุณประมาณค่าและเปรียบเทียบได้อย่างรวดเร็ว

ลืมตรวจสอบข้อตกลงที่ใช้

สำหรับจำนวนอย่าง $4.7 \times 10^4$ แหล่งหนึ่งอาจรายงานเป็น $10^4$ แต่อีกแหล่งอาจรายงานเป็น $10^5$ ให้ตรวจสอบว่าแหล่งนั้นหมายถึงระดับจากสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ หรือหมายถึงกำลังของสิบที่ใกล้ที่สุด

สับสนระหว่างปัจจัยสิบเท่ากับความต่างของกำลังของสิบ

ถ้าปริมาณหนึ่งมากกว่าอีกปริมาณอยู่สามอันดับขนาด นั่นหมายถึงมากกว่าประมาณ $10^3$ เท่า ไม่ใช่แค่ "มากกว่านิดหน่อย"

มองข้ามเลขชี้กำลังติดลบ

จำนวนที่เล็กมากก็มีอันดับขนาดเช่นกัน ตัวอย่างเช่น

$$0.004 = 4 \times 10^{-3}$$

ดังนั้นมันจึงอยู่ในระดับ $10^{-3}$

อันดับขนาดถูกใช้เมื่อใด

อันดับขนาดถูกใช้ในการประมาณค่า ฟิสิกส์ วิศวกรรม เคมี และการตีความข้อมูล โดยมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อค่าที่แน่นอนไม่สำคัญเท่ากับระดับโดยรวม

มันยังช่วยให้คุณตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคำตอบได้ด้วย ถ้าการคำนวณมวลของรถยนต์ให้ค่าใกล้ $10^8$ กิโลกรัม แค่อันดับขนาดก็พอบอกได้แล้วว่าน่าจะมีบางอย่างผิดพลาด

วิธีหาค่าอย่างรวดเร็ว

เขียนจำนวนใหม่ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ก่อน จากนั้นตรวจสอบว่าชั้นเรียน หนังสือเรียน หรือโจทย์ของคุณใช้ข้อตกลงแบบใด ถ้าไม่ได้ระบุไว้ การใช้เลขชี้กำลังจากสัญกรณ์วิทยาศาสตร์มักเป็นการตีความที่ปลอดภัยที่สุด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

พิจารณาจำนวน $0.0062$ และ $540$ เขียนทั้งสองจำนวนให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เปรียบเทียบเลขชี้กำลัง แล้วตัดสินว่าทั้งสองต่างกันกี่อันดับขนาด จากนั้นลองใช้ข้อตกลงแบบกำลังของสิบที่ใกล้ที่สุด แล้วดูว่าคำอธิบายเปลี่ยนไปหรือไม่