กฎของปาสกาล — เครื่องอัดไฮดรอลิกและความดันของไหล

กฎของปาสกาลอธิบายว่าทำไมเครื่องอัดไฮดรอลิกจึงสามารถเพิ่มแรงได้ หากมีการเปลี่ยนแปลงความดันกระทำต่อของไหลที่ถูกปิดล้อมและอยู่นิ่ง การเปลี่ยนแปลงความดันนั้นจะถูกส่งผ่านไปทั่วของไหล ในแบบจำลองลูกสูบสองตัวที่ใช้กันทั่วไป นั่นหมายความว่าแรงขนาดเล็กที่กระทำบนลูกสูบเล็กสามารถทำให้เกิดแรงที่มากกว่าบนลูกสูบใหญ่ได้

เงื่อนไขมีความสำคัญ แนวคิดนี้ใช้กับของไหลสถิต ในแบบจำลองเบื้องต้นมาตรฐาน จะถือว่าของไหลถูกปิดล้อม ลูกสูบทั้งสองอยู่ที่ระดับความสูงเท่ากัน และละเลยการสูญเสียต่าง ๆ

นิยามและสูตรของกฎของปาสกาล

ความดันคือแรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่:

$$p = \frac{F}{A}$$

ถ้าของไหลที่ถูกปิดล้อมเดียวกันส่งผ่านการเปลี่ยนแปลงความดันเท่ากันไปยังลูกสูบทั้งสอง ในแบบจำลองอุดมคติที่อยู่ระดับเดียวกัน จะได้ว่า

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

นี่คือสูตรของเครื่องอัดไฮดรอลิกสำหรับกรณีอุดมคติที่ลูกสูบอยู่ที่ความสูงเท่ากัน พื้นที่คือปัจจัยสำคัญ หากลูกสูบด้านออกมีพื้นที่มากกว่าลูกสูบด้านเข้า แรงด้านออกก็สามารถมากกว่าได้

แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าเครื่องจักรสร้างพลังงานขึ้นมาเอง ด้านที่ให้แรงมากกว่าจะเคลื่อนที่ได้ระยะสั้นกว่า ดังนั้นระบบนี้จึงแลกแรงกับระยะทาง

ทำไมเครื่องอัดไฮดรอลิกจึงเพิ่มแรงได้

ลองนึกภาพว่าคุณกดลงบนลูกสูบเล็ก เพราะของไหลถูกปิดล้อม การเปลี่ยนแปลงความดันนั้นจึงส่งไปถึงลูกสูบใหญ่ด้วย

ถ้าลูกสูบทั้งสองได้รับความดันเท่ากัน ลูกสูบใหญ่จะต้องได้รับแรงมากกว่า เพราะว่า

$$F = pA$$

ดังนั้น กฎของปาสกาลไม่ได้บอกว่าแรงคงที่เท่าเดิม แต่บอกว่าการเปลี่ยนแปลงความดันถูกส่งผ่านไป ส่วนแรงจะขึ้นอยู่กับพื้นที่

ตัวอย่างคำนวณ: หาแรงของเครื่องอัดไฮดรอลิก

สมมติว่าลูกสูบด้านเข้ามีพื้นที่ $A_1 = 0.005\ \mathrm{m^2}$ และลูกสูบด้านออกมีพื้นที่ $A_2 = 0.050\ \mathrm{m^2}$. คุณออกแรงกดบนลูกสูบเล็กด้วยแรง $F_1 = 120\ \mathrm{N}$

ใช้ความสัมพันธ์ไฮดรอลิกแบบอุดมคติ

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

แก้สมการหาแรงด้านออก:

$$F_2 = F_1 \frac{A_2}{A_1}$$ $$F_2 = 120 \cdot \frac{0.050}{0.005} = 120 \cdot 10 = 1200\ \mathrm{N}$$

ดังนั้น ลูกสูบใหญ่สามารถออกแรงได้ $1200\ \mathrm{N}$ ในการตั้งค่าแบบอุดมคตินี้

แนวคิดสำคัญคืออัตราส่วนของพื้นที่ ลูกสูบตัวที่สองมีพื้นที่มากกว่า $10$ เท่า ดังนั้นแรงจึงมากกว่า $10$ เท่า

ถ้าพื้นที่ทั้งสองเท่ากัน แรงก็จะเท่ากันด้วย การเพิ่มแรงเกิดจากพื้นที่ด้านออกที่มากกว่า ไม่ใช่จากของไหลเพียงอย่างเดียว

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกฎของปาสกาล

ความดันกับแรงไม่ใช่สิ่งเดียวกัน

กฎของปาสกาลเกี่ยวกับการส่งผ่านความดัน แรงจะเปลี่ยนเมื่อพื้นที่เปลี่ยน

สูตรมาตรฐานใช้แบบจำลองอุดมคติ

ความสัมพันธ์อย่างง่าย

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

ใช้ได้ชัดเจนเมื่อถือว่าของไหลอยู่นิ่งและเปรียบเทียบลูกสูบที่ระดับความสูงเท่ากัน ถ้าลูกสูบอยู่คนละระดับ ความต่างของความดันสถิตเนื่องจากระดับความสูงก็อาจมีผลด้วย

แรงที่มากขึ้นไม่ได้แปลว่าได้พลังงานฟรี

ถ้าแรงด้านออกมากขึ้น ลูกสูบด้านออกจะเคลื่อนที่ได้ระยะสั้นกว่าลูกสูบด้านเข้าในระบบอุดมคติ การได้แรงเพิ่มมาพร้อมกับการแลกเปลี่ยนบางอย่าง

กฎของปาสกาลไม่ใช่เครื่องมือที่เหมาะกับทุกปัญหาเรื่องของไหล

ถ้าโจทย์เกี่ยวข้องหลัก ๆ กับของไหลที่กำลังไหล การสูญเสียจากความหนืด หรือการเปลี่ยนแปลงความดันระหว่างการเคลื่อนที่ คุณอาจต้องใช้แบบจำลองอื่น เช่น สถิตยศาสตร์ของไหล หรือการวิเคราะห์แบบแบร์นูลลี ขึ้นอยู่กับสถานการณ์

กฎของปาสกาลถูกใช้ที่ไหนในฟิสิกส์และวิศวกรรม

กฎของปาสกาลเป็นแนวคิดพื้นฐานของเครื่องอัดไฮดรอลิก เบรกรถยนต์ แม่แรง ลิฟต์ และระบบอื่น ๆ ที่ใช้ของไหลที่ถูกปิดล้อมเพื่อส่งผ่านความดัน ในแต่ละกรณี ประโยชน์เชิงปฏิบัติก็เหมือนกัน คือแรงที่กระทำในตำแหน่งหนึ่งสามารถถูกส่งต่อและเปลี่ยนขนาดได้ด้วยพื้นที่ในอีกตำแหน่งหนึ่ง

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่หัวข้อนี้มักปรากฏตั้งแต่ช่วงต้นของกลศาสตร์ของไหล เพราะมันเชื่อมโยงนิยามของความดันเข้ากับเครื่องจักรที่คุณนึกภาพตามได้ทันที

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

คงแรงด้านเข้าไว้ที่ $120\ \mathrm{N}$ แต่เปลี่ยนพื้นที่ของลูกสูบใหญ่เป็น $0.020\ \mathrm{m^2}$ แทน $0.050\ \mathrm{m^2}$. ลองคำนวณใหม่ แล้วเปรียบเทียบอัตราส่วนแรงใหม่กับอัตราส่วนพื้นที่ใหม่ ถ้าคุณอยากลองอีกกรณีต่อจากนั้น ดูได้ที่ พื้นฐานกลศาสตร์ของไหล