พลศาสตร์ของไหล: สมการนาวิแยร์-สโตกส์ จำนวนเรย์โนลด์ และความปั่นป่วน

พลศาสตร์ของไหลอธิบายว่าของเหลวและก๊าซเคลื่อนที่อย่างไร สำหรับโจทย์พื้นฐานส่วนใหญ่ มี 3 แนวคิดที่สำคัญมาก ได้แก่ สมการนาวิแยร์-สโตกส์ที่บอกว่าแรงต่าง ๆ เปลี่ยนการเคลื่อนที่อย่างไร จำนวนเรย์โนลด์ที่ช่วยประเมินว่าผลใดสำคัญที่สุด และความปั่นป่วนซึ่งอธิบายสภาวะการไหลที่ไม่สม่ำเสมอและมีการผสมสูงเมื่อการรบกวนเติบโตขึ้น

พลศาสตร์ของไหลหมายถึงอะไร

ของไหลจะไม่คงรูปร่างเดิมไว้เมื่อมีแรงเฉือนมากระทำ จึงสามารถเปลี่ยนรูปต่อเนื่องได้ขณะไหล พลศาสตร์ของไหลติดตามปริมาณต่าง ๆ เช่น ความเร็ว ความดัน ความหนาแน่น และบางครั้งรวมถึงอุณหภูมิ เมื่อปริมาณเหล่านี้เปลี่ยนไปตามตำแหน่งและเวลา

กรอบแนวคิดเดียวกันนี้พบได้ในปัญหาการไหลในท่อ การไหลของเลือด สภาพอากาศ อากาศพลศาสตร์ และกระแสน้ำในมหาสมุทร รายละเอียดอาจต่างกัน แต่คำถามหลักยังเหมือนเดิม คืออะไรเป็นตัวขับการเคลื่อนที่ แรงใดเด่นที่สุด และการไหลเรียบหรือไม่เสถียร

สมการนาวิแยร์-สโตกส์บอกอะไรเรา

สำหรับของไหลนิวโทเนียนที่ไม่อัดตัวได้ และมีความหนาแน่นกับความหนืดคงที่ รูปแบบที่ใช้บ่อยรูปแบบหนึ่งคือ

$$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho \mathbf{f}$$

ร่วมกับเงื่อนไขไม่อัดตัวได้

$$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$$

ในที่นี้ $\mathbf{u}$ คือความเร็ว, $p$ คือความดัน, $\rho$ คือความหนาแน่น, $\mu$ คือความหนืดเชิงพลวัต และ $\mathbf{f}$ คือแรงปริมาตรต่อหนึ่งหน่วยมวล เช่น แรงโน้มถ่วง

สัญลักษณ์อาจดูซับซ้อน แต่แนวคิดจริง ๆ ค่อนข้างตรงไปตรงมา ด้านซ้ายอธิบายว่าหน่วยย่อยของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่มีความเร่งอย่างไร ส่วนด้านขวาบอกว่าความเร่งนั้นอาจเกิดจากความต่างความดัน แรงต้านเชิงหนืดจากชั้นของไหลข้างเคียง และแรงภายนอก

รูปสมการนี้ไม่ได้ใช้ได้กับทุกกรณีเสมอไป ถ้าของไหลอัดตัวได้ ไม่เป็นนิวโทเนียน หรือมีสมบัติที่เปลี่ยนตามอุณหภูมิอย่างมาก แบบจำลองก็ต้องเปลี่ยนตาม

จำนวนเรย์โนลด์ใช้ตรวจสอบเบื้องต้นได้อย่างรวดเร็ว

จำนวนเรย์โนลด์เป็นอัตราส่วนไร้มิติที่ใช้เปรียบเทียบอิทธิพลของแรงเฉื่อยกับอิทธิพลของความหนืด:

$$Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}$$

โดยที่ $U$ คือความเร็วลักษณะเฉพาะ, $L$ คือความยาวลักษณะเฉพาะ และ $\nu$ คือความหนืดจลน์

ถ้า $Re$ มีค่าน้อย ความหนืดจะมีผลทำให้การไหลเรียบมากกว่า และการไหลมักเป็นแบบลามินาร์ ถ้า $Re$ มีค่ามาก แรงเฉื่อยจะมีอิทธิพลมากขึ้น และการรบกวนมีแนวโน้มเติบโตแทนที่จะค่อย ๆ หายไป

ควรใช้มันเป็นแนวทาง ไม่ใช่สวิตช์ตัดสินแบบสากล ในการไหลในท่อกลมผิวเรียบ พฤติกรรมแบบลามินาร์มักสัมพันธ์กับ $Re \lesssim 2300$ แต่การเปลี่ยนผ่านขึ้นอยู่กับรูปทรง ความขรุขระ และระดับการรบกวนของการไหลขาเข้าด้วย

ตัวอย่างคำนวณ: การไหลของน้ำในท่อ

สมมติว่าน้ำที่อุณหภูมิใกล้อุณหภูมิห้องไหลผ่านท่อที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $D = 0.02\ \mathrm{m}$ ด้วยความเร็วเฉลี่ย $U = 1.0\ \mathrm{m/s}$ ให้ค่าความหนืดจลน์เป็น

$$\nu \approx 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$$

เมื่อใช้ $L = D$ จำนวนเรย์โนลด์คือ

$$Re = \frac{U D}{\nu} = \frac{(1.0)(0.02)}{1.0 \times 10^{-6}} = 2.0 \times 10^4$$

ดังนั้น $Re \approx 20{,}000$ สำหรับการไหลภายในท่อกลมผิวเรียบ ค่านี้สูงกว่าช่วงลามินาร์ทั่วไปมาก ดังนั้นการเริ่มต้นด้วยแบบจำลองการไหลปั่นป่วนจึงปลอดภัยกว่าการใช้แบบลามินาร์มาก

นี่คือประโยชน์หลักของจำนวนเรย์โนลด์ มันไม่ได้ให้สนามความเร็วทั้งหมด แต่ช่วยบอกได้ตั้งแต่ต้นว่าภาพการไหลแบบลามินาร์อย่างง่ายมีแนวโน้มจะใช้ไม่ได้หรือไม่

ความปั่นป่วนหมายถึงอะไร

ความปั่นป่วนไม่ได้หมายถึงแค่ “การไหลที่ยุ่งเหยิง” เท่านั้น แต่มันคือการเคลื่อนที่ที่มีความผันผวนของความเร็วอย่างแรงและไม่สม่ำเสมอ พร้อมกับการผสมที่เกิดขึ้นในหลายสเกลความยาว

ในการไหลปั่นป่วนหลายกรณี พลังงานจะเข้าสู่ระบบที่สเกลใหญ่ แล้วถูกถ่ายโอนไปยังสเกลเล็กลงเรื่อย ๆ จนในที่สุดความหนืดสลายพลังงานนั้นเป็นความร้อน โครงสร้างหลายสเกลนี้เป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้ความปั่นป่วนคำนวณแบบละเอียดทั้งหมดได้ยากมาก

สมการนาวิแยร์-สโตกส์ยังคงเป็นสมการที่ควบคุมการเคลื่อนที่ แต่คำตอบเชิงวิเคราะห์แบบตรงไปตรงมาสำหรับการไหลปั่นป่วนจริงนั้นพบได้น้อยมาก ในทางปฏิบัติ วิศวกรมักอาศัยการทดลอง การจำลอง และแบบจำลองอย่างย่อ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในพลศาสตร์ของไหล

มองจำนวนเรย์โนลด์เป็นค่าตัดสินแบบมหัศจรรย์

$Re$ ช่วยจัดประเภทการไหลได้ แต่การเปลี่ยนไปสู่ความปั่นป่วนไม่ได้เกิดที่ค่ามหัศจรรย์ค่าเดียวสำหรับทุกสถานการณ์

เลือกความยาวลักษณะเฉพาะผิด

ค่า $Re$ ขึ้นอยู่กับ $L$ ในการไหลในท่อ $L$ มักเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่สำหรับการไหลผ่านทรงกลมหรือเหนือแผ่นราบ จะต้องใช้สเกลความยาวที่ต่างออกไป

ใช้รูปของสมการนาวิแยร์-สโตกส์ไม่ถูกต้อง

รูปสมการที่เขียนไว้ข้างต้นสมมติว่าของไหลเป็นของไหลนิวโทเนียนที่ไม่อัดตัวได้ และมีความหนาแน่นกับความหนืดคงที่ การไหลอัดตัวได้ ของไหลไม่เป็นนิวโทเนียน และสมบัติที่ขึ้นกับอุณหภูมิอย่างมาก ต้องใช้ทางเลือกในการสร้างแบบจำลองที่ต่างออกไป

สับสนระหว่างความหนืดกับความหนาแน่น

ความหนาแน่นบอกว่ามีมวลอัดแน่นอยู่ในปริมาตรเท่าใด ส่วนความหนืดบอกความต้านทานต่อการเปลี่ยนรูปและแรงเฉือน ทั้งสองอย่างปรากฏในพลศาสตร์ของไหล แต่มีบทบาทต่างกัน

คิดว่าความปั่นป่วนไม่มีโครงสร้าง

การไหลปั่นป่วนดูไม่เป็นระเบียบ แต่ก็ยังมีลักษณะที่จัดระเบียบได้ เช่น วอร์เทกซ์ ชั้นขอบเขต และการเคลื่อนที่ขนาดใหญ่ที่มีความสอดคล้องกัน

พลศาสตร์ของไหลถูกใช้ที่ไหนบ้าง

พลศาสตร์ของไหลถูกใช้ทุกที่ที่การเคลื่อนที่ของของเหลวหรือก๊าซมีความสำคัญ เช่น อากาศพลศาสตร์ของเครื่องบินและรถยนต์ ปั๊มและท่อส่ง การพยากรณ์อากาศ การไหลในระบบหัวใจและหลอดเลือด เครื่องปฏิกรณ์เคมี และการแพร่กระจายในสิ่งแวดล้อม

แม้สมการเต็มรูปจะซับซ้อน แต่คำถามเชิงปฏิบัติยังคงเหมือนเดิม อะไรเป็นตัวขับการเคลื่อนที่ แรงใดสำคัญที่สุด การไหลจะยังคงเรียบอยู่หรือมีแนวโน้มเกิดการเปลี่ยนผ่านและการผสม

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองประมาณจำนวนเรย์โนลด์สำหรับการไหลผ่านหลอดดูด ท่อฝักบัว หรืออากาศที่ไหลผ่านมือของคุณนอกหน้าต่างรถ การเปลี่ยนความเร็ว สเกลความยาว หรือชนิดของของไหล เป็นวิธีที่ดีในการเห็นอย่างรวดเร็วว่าทำไมบางการไหลยังคงเป็นระเบียบ ในขณะที่บางการไหลกลับกลายเป็นปั่นป่วน