ตรีโกณมิติ — สูตร Sin Cos Tan และตัวอย่าง

ตรีโกณมิติคือการใช้ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวด้านเพื่อหาค่าที่ยังไม่รู้ โดยในระดับพื้นฐานจะเริ่มจากสามเหลี่ยมมุมฉากและสูตร $\\sin$, $\\cos$ และ $\\tan$ ถ้าโจทย์ให้มุมกับด้านมาบางส่วน คุณมักใช้ตรีโกณมิติเพื่อหาด้านที่เหลือหรือหามุมที่ขาดไปได้

แก่นที่ควรรู้มีแค่นี้: เลือกมุมให้ชัด ตั้งชื่อด้านให้ถูก แล้วค่อยเลือกอัตราส่วนให้ตรงกับข้อมูลที่โจทย์ให้

ตรีโกณมิติคืออะไร

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เลือกมุมแหลมมุมหนึ่งเป็น $\\theta$ แล้วตั้งชื่อด้านตามมุมนั้นก่อน

• ด้านตรงข้าม คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $\\theta$
• ด้านประชิด คือด้านที่ติดกับมุม $\\theta$ แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านยาวที่สุด

เพื่อให้สูตรอ่านง่าย จะเขียนย่อว่า $\\mathrm{opp}$ = ด้านตรงข้าม, $\\mathrm{adj}$ = ด้านประชิด และ $\\mathrm{hyp}$ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก

$$\sin \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}, \quad \cos \theta = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}, \quad \tan \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}$$

สูตรนี้ใช้ตรง ๆ เมื่อโจทย์เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าไม่ใช่กรณีนี้ ต้องระวังว่าอาจต้องใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์แทน

ทำไมค่า sin cos tan จึงขึ้นกับมุม

ถ้าสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีมุมเท่ากัน สองรูปนั้นจะคล้ายกัน หมายความว่าด้านอาจยาวไม่เท่ากัน แต่ยาวต่างกันด้วยสัดส่วนเดียวกัน อัตราส่วนของด้านจึงคงเดิม

เพราะเหตุนี้ \\sin 30^\\circ หรือ \\tan 45^\\circ จึงมีค่าแน่นอน ไม่ได้ขึ้นกับว่าคุณวาดสามเหลี่ยมเล็กหรือใหญ่

สูตร sin cos tan ใช้เมื่อไร

ให้เริ่มจากดูว่าโจทย์บอก "คู่ด้าน" อะไรมาบ้าง

• ถ้ารู้ด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้คิดถึง $\\sin$
• ถ้ารู้ด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้คิดถึง $\\cos$
• ถ้ารู้ด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ให้คิดถึง $\\tan$

โจทย์หาความสูงของอาคาร ต้นไม้ ทางลาด หรือระยะจากมุมเงยและมุมก้ม มักใช้หลักนี้

ตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติทีละขั้น

ยืนห่างจากเสาไฟ $12$ เมตร แล้ววัดมุมเงยไปยังยอดเสาได้ 40^\\circ ถ้าพื้นราบและไม่นับระดับสายตา ความสูงของเสาเท่าไร

โจทย์นี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และข้อมูลสำคัญคือ

• ด้านตรงข้าม คือความสูงของเสา
• ด้านประชิด คือระยะบนพื้น $12$ เมตร
• มุมที่รู้คือ 40^\\circ

เมื่อรู้ด้านตรงข้ามกับด้านประชิด ควรใช้ $\\tan$ ไม่ใช่ $\\sin$ หรือ $\\cos$

\tan 40^\\circ = \frac{h}{12}

แก้สมการได้ว่า

h = 12 \tan 40^\\circ

ถ้าเครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดองศา จะได้ประมาณ

$$h \approx 12(0.8391) \approx 10.1$$

ดังนั้นเสาไฟสูงประมาณ $10.1$ เมตร ภายใต้เงื่อนไขของโจทย์นี้

จุดสำคัญของตัวอย่างไม่ใช่การกดเครื่องคิดเลข แต่คือการเลือกอัตราส่วนให้ตรงกับข้อมูลที่มี

จุดที่นักเรียนมักพลาดในเรื่องตรีโกณมิติ

สลับด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

สองคำนี้ไม่ได้ติดอยู่กับรูปถาวร แต่ขึ้นกับมุมที่เลือก ถ้าเปลี่ยนมุม ด้านประชิดและด้านตรงข้ามอาจสลับกัน

ใช้สูตรถูกตัวไม่ตรงข้อมูล

บางคนเห็นโจทย์ตรีโกณมิติแล้วเริ่มจาก $\\sin$ ทันที ทั้งที่จริงควรเลือกจาก "คู่ด้าน" ที่โจทย์ให้ ไม่ใช่เลือกจากความคุ้นเคย

ลืมเช็กโหมดเครื่องคิดเลข

ถ้าโจทย์ให้มุมเป็นองศา เช่น 40^\\circ แต่เครื่องคิดเลขอยู่ในโหมดเรเดียน คำตอบจะผิดทันที แม้วิธีคิดจะถูก

คิดว่านิยามนี้ใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม

นิยามอัตราส่วนด้านแบบข้างบนใช้ตรง ๆ กับสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าเป็นสามเหลี่ยมทั่วไป มักต้องใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์แทน

ตรีโกณมิติใช้ต่อในเรื่องไหนบ้าง

เมื่อเรียนต่อไป คุณจะเจอตรีโกณมิติบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งทำให้ $\\sin$ และ $\\cos$ ใช้กับมุมที่มากกว่า 90^\\circ มุมลบ และการหมุนรอบเต็มได้ นั่นคือเหตุผลที่ตรีโกณมิติไปโผล่ในกราฟ คลื่น การสั่น และฟิสิกส์

แต่ถ้ายังอยู่ในระดับเริ่มต้น ให้จับแก่นนี้ก่อน: เลือกมุมให้ชัด ตั้งชื่อด้านให้ถูก แล้วเลือก $\\sin$, $\\cos$ หรือ $\\tan$ จากคู่ด้านที่โจทย์ให้

ลองทำโจทย์ใกล้เคียงด้วยตัวเอง

ลองเปลี่ยนตัวอย่างเดิมเป็นยืนห่างต้นไม้ $15$ เมตร และวัดมุมเงยได้ 35^\\circ แล้วหาความสูงของต้นไม้เองก่อนดูเฉลย ถ้าคุณเลือกได้ทันทีว่าต้องใช้ $\\tan$ แปลว่าพื้นฐานตรีโกณมิติกำลังเริ่มเข้าที่แล้ว