Standard Error — สูตร ความหมาย และต่างจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอย่างไร

Standard error บอกว่าค่าประมาณจากตัวอย่างจะเปลี่ยนไปมากน้อยเพียงใดเมื่อเปลี่ยนจากการสุ่มตัวอย่างหนึ่งไปสู่อีกตัวอย่างหนึ่ง ในหน้านี้ ค่าประมาณนั้นคือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง มันวัดความแปรปรวนจากการสุ่มตัวอย่างของค่าเฉลี่ย ไม่ใช่การกระจายของข้อมูลดิบ

สำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง standard error คือ

$$SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

ถ้าทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $\sigma$ ในทางปฏิบัติ มักไม่ทราบค่า $\sigma$ จึงประมาณด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง $s$:

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

สูตรนี้ใช้กับค่าเฉลี่ยภายใต้เงื่อนไขทั่วไป: มองว่าข้อมูลที่สังเกตได้เป็นตัวอย่างสุ่มแบบอิสระ และคุณกำลังสนใจความแม่นยำของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง standard error ที่เล็กกว่าหมายถึงค่าประมาณที่แม่นยำกว่า

Standard Error วัดอะไรจริง ๆ

Standard error เกี่ยวกับค่าประมาณ ไม่ใช่ค่าข้อมูลรายตัว ถ้าคุณสุ่มตัวอย่างใหม่ที่มีขนาดเท่าเดิมจากประชากรเดียวกันซ้ำ ๆ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะเปลี่ยนไปมา Standard error อธิบายขนาดโดยทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงนั้น

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไม standard error จึงเล็กลงเมื่อ $n$ มากขึ้น การเฉลี่ยจากข้อมูลจำนวนมากขึ้นมักทำให้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคงที่มากขึ้นจากตัวอย่างหนึ่งไปสู่อีกตัวอย่างหนึ่ง โดยสมมติว่ากระบวนการเก็บข้อมูลยังเทียบเคียงกันได้

Standard Error กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกันอย่างไร

นี่คือความแตกต่างที่ทำให้หลายคนสับสนมากที่สุด ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอธิบายว่าค่าข้อมูลกระจายตัวมากแค่ไหนภายในชุดข้อมูลหนึ่งชุด ส่วน standard error อธิบายว่าสถิติ เช่น ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง จะกระจายตัวมากแค่ไหนเมื่อพิจารณาจากการสุ่มตัวอย่างซ้ำหลายครั้ง

สำหรับค่าเฉลี่ย ทั้งสองเชื่อมโยงกันด้วย

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

เมื่อคุณกำลังประมาณจากตัวอย่าง ดังนั้น standard error ใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการคำนวณ แต่ทั้งสองตอบคำถามคนละแบบ

ใช้วิธีจำสั้น ๆ นี้:

1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานถามว่า "ค่าข้อมูลกระจายตัวมากแค่ไหน?"
2. Standard error ถามว่า "ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของฉันแม่นยำแค่ไหนในฐานะค่าประมาณ?"

ตัวอย่างการคำนวณ Standard Error

สมมติว่าตัวอย่างของนักเรียน $n = 25$ คน มีคะแนนสอบเฉลี่ย $78$ และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างเท่ากับ $10$

ค่า standard error ของค่าเฉลี่ยที่ประมาณได้คือ

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

ประเด็นสำคัญคือการตีความ ค่า $2$ ไม่ได้หมายความว่านักเรียนส่วนใหญ่อยู่ห่างจาก $78$ ไม่เกิน $2$ คะแนน เพราะนั่นเป็นการสับสนระหว่าง standard error กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แต่ความหมายคือ ถ้าคุณสุ่มตัวอย่างนักเรียน $25$ คนจากประชากรเดียวกันในลักษณะคล้ายกันซ้ำ ๆ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมักจะแตกต่างกันประมาณ $2$ คะแนนจากตัวอย่างหนึ่งไปสู่อีกตัวอย่างหนึ่ง

ทำไมสูตรจึงใช้ $\sqrt{n}$

ค่า $\sqrt{n}$ ในส่วนตัวส่วนอธิบายว่าทำไมตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นจึงให้ค่าประมาณของค่าเฉลี่ยที่แม่นยำขึ้น ถ้าขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น ตัวส่วนก็เพิ่มขึ้น ดังนั้น standard error จึงเล็กลง

แต่การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่เป็นเชิงเส้น ถ้าต้องการให้ standard error ลดลงครึ่งหนึ่ง โดยทั่วไปคุณต้องใช้ขนาดตัวอย่างมากขึ้นประมาณ 4 เท่า เพราะว่า

$$\frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับ Standard Error

1. ใช้ standard error และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานราวกับว่าใช้แทนกันได้
2. บอกว่า standard error ที่เล็กหมายความว่าข้อมูลดิบกระจายตัวน้อย ซึ่งสรุปแบบนั้นไม่ได้ เว้นแต่คุณจะรู้ด้วยว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าน้อย
3. ลืมว่าสูตร $SE(\bar{x}) \approx s/\sqrt{n}$ ในที่นี้ใช้เฉพาะกับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
4. คิดว่าตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้นจะแก้ปัญหาอคติได้เสมอ ค่า $n$ ที่มากขึ้นช่วยลดความแปรปรวนจากการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม แต่ไม่ได้แก้ปัญหาตัวอย่างที่มีอคติโดยอัตโนมัติ

Standard Error ใช้เมื่อไร

Standard error สำคัญเมื่อคุณต้องการตัดสินว่าค่าประมาณมีความแม่นยำเพียงใด มันปรากฏในช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐาน ผลลัพธ์จากการถดถอย และผลสำรวจ

ในทุกกรณี แนวคิดเหมือนกันคือ standard error ช่วยเชื่อมโยงตัวอย่างหนึ่งชุดเข้ากับความไม่แน่นอนของค่าประมาณที่ได้จากตัวอย่างนั้น

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้ $s = 12$ และ $n = 36$ คำนวณ standard error ของค่าเฉลี่ย แล้วเปรียบเทียบกับกรณีที่ $n = 144$ นี่เป็นวิธีเร็ว ๆ ที่ช่วยให้เห็นว่าขนาดตัวอย่างเปลี่ยนความแม่นยำอย่างไร ถ้าคุณอยากต่อยอด ลองศึกษาเรื่องช่วงความเชื่อมั่นต่อ แล้วดูว่า standard error ส่งผลต่อความกว้างของช่วงอย่างไร