Erro padrão — fórmula, significado e diferença para o desvio padrão

O erro padrão indica quanto uma estimativa amostral costuma variar de uma amostra aleatória para outra. Nesta página, essa estimativa é a média amostral. Ele mede a variação amostral típica da média, e não a dispersão dos dados brutos.

Para a média amostral, o erro padrão é

$$SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

se o desvio padrão populacional $\sigma$ for conhecido. Na prática, $\sigma$ muitas vezes é desconhecido, então você o estima com o desvio padrão amostral $s$:

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Essa fórmula é para a média no caso usual: as observações são tratadas como uma amostra aleatória independente, e você quer saber a precisão da média amostral. Um erro padrão menor significa uma estimativa mais precisa.

O que o erro padrão realmente mede

O erro padrão está relacionado a uma estimativa, não a observações individuais. Se você continuasse coletando novas amostras do mesmo tamanho da mesma população, a média amostral variaria. O erro padrão descreve o tamanho típico dessa variação.

É por isso que o erro padrão diminui quando $n$ aumenta. Fazer a média de mais observações geralmente torna a média amostral mais estável de uma amostra para outra, supondo que o processo de coleta de dados continue comparável.

Erro padrão vs desvio padrão

Essa é a distinção que causa mais confusão. O desvio padrão descreve o quanto os valores dos dados estão dispersos dentro de um único conjunto de dados. O erro padrão descreve o quanto uma estatística, como a média amostral, ficaria dispersa ao longo de muitas amostras repetidas.

Para a média, os dois estão ligados por

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

quando você está estimando a partir de uma amostra. Então, o erro padrão usa o desvio padrão, mas eles respondem a perguntas diferentes.

Use este atalho:

1. O desvio padrão pergunta: "Quão dispersos estão os valores dos dados?"
2. O erro padrão pergunta: "Quão precisa é a minha média amostral como estimativa?"

Um exemplo resolvido de erro padrão

Suponha que uma amostra de $n = 25$ estudantes tenha média de notas igual a $78$ e desvio padrão amostral igual a $10$.

O erro padrão estimado da média é

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

O ponto principal é a interpretação. O valor $2$ não significa que a maioria dos estudantes está a até $2$ pontos de $78$. Isso confundiria erro padrão com desvio padrão.

Em vez disso, significa que, se você coletasse repetidamente amostras aleatórias semelhantes de $25$ estudantes da mesma população, a média amostral normalmente variaria cerca de $2$ pontos de uma amostra para outra.

Por que a fórmula usa $\sqrt{n}$

O $\sqrt{n}$ no denominador explica por que amostras maiores produzem estimativas mais precisas da média. Se o tamanho da amostra cresce, o denominador cresce, então o erro padrão diminui.

Mas a mudança não é linear. Para reduzir o erro padrão pela metade, normalmente você precisa de cerca de quatro vezes o tamanho da amostra, porque

$$\frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

Erros comuns sobre erro padrão

1. Usar erro padrão e desvio padrão como se fossem intercambiáveis.
2. Dizer que um erro padrão pequeno significa que os dados brutos têm pouca dispersão. Essa conclusão não é válida, a menos que você também saiba que o desvio padrão é pequeno.
3. Esquecer que a fórmula $SE(\bar{x}) \approx s/\sqrt{n}$ aqui é especificamente para a média amostral.
4. Supor que uma amostra maior sempre corrige viés. Um $n$ maior reduz a variação aleatória de amostragem, mas não corrige automaticamente uma amostra enviesada.

Quando o erro padrão é usado

O erro padrão é importante quando você quer avaliar quão precisa é uma estimativa. Ele aparece em intervalos de confiança, testes de hipótese, resultados de regressão e pesquisas amostrais.

Em cada caso, a ideia é a mesma: o erro padrão ajuda a conectar uma amostra à incerteza da estimativa obtida a partir dessa amostra.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com $s = 12$ e $n = 36$. Calcule o erro padrão da média e depois compare com o caso em que $n = 144$. Essa é uma forma rápida de ver como o tamanho da amostra muda a precisão. Se quiser ir além, explore em seguida um intervalo de confiança e veja como o erro padrão afeta sua largura.