Errore standard — formula, significato e differenza con la deviazione standard

L’errore standard indica di quanto una stima campionaria tende normalmente a cambiare da un campione casuale a un altro. In questa pagina, la stima considerata è la media campionaria. Misura la variabilità campionaria tipica della media, non la dispersione dei dati grezzi.

Per la media campionaria, l’errore standard è

$$SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

se la deviazione standard della popolazione $\sigma$ è nota. In pratica, però, $\sigma$ spesso non è nota, quindi la si stima con la deviazione standard campionaria $s$:

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Questa formula vale per la media nel caso usuale: le osservazioni sono trattate come un campione casuale indipendente e ci si interessa alla precisione della media campionaria. Un errore standard più piccolo significa una stima più precisa.

Che cosa misura davvero l’errore standard

L’errore standard riguarda una stima, non le singole osservazioni. Se continuassi a estrarre nuovi campioni della stessa dimensione dalla stessa popolazione, la media campionaria cambierebbe. L’errore standard descrive l’entità tipica di questa variazione.

Per questo l’errore standard diminuisce quando $n$ aumenta. Fare la media di più osservazioni rende di solito la media campionaria più stabile da un campione all’altro, purché il processo di raccolta dei dati resti comparabile.

Errore standard vs deviazione standard

Questa è la distinzione che crea più confusione. La deviazione standard descrive quanto sono dispersi i valori dei dati all’interno di un singolo insieme di dati. L’errore standard descrive quanto una statistica, come la media campionaria, sarebbe dispersa su molti campioni ripetuti.

Per la media, i due concetti sono collegati da

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

quando si stima a partire da un campione. Quindi l’errore standard usa la deviazione standard, ma risponde a una domanda diversa.

Usa questa scorciatoia:

1. La deviazione standard chiede: "Quanto sono dispersi i valori dei dati?"
2. L’errore standard chiede: "Quanto è precisa la mia media campionaria come stima?"

Un esempio svolto di errore standard

Supponi che un campione di $n = 25$ studenti abbia un punteggio medio al test pari a $78$ e una deviazione standard campionaria di $10$.

L’errore standard stimato della media è

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

Il punto chiave è l’interpretazione. Il valore $2$ non significa che la maggior parte degli studenti sia entro $2$ punti da $78$. Questo confonderebbe l’errore standard con la deviazione standard.

Significa invece che, se prendessi ripetutamente campioni casuali simili di $25$ studenti dalla stessa popolazione, la media campionaria varierebbe tipicamente di circa $2$ punti da un campione all’altro.

Perché la formula usa $\sqrt{n}$

Il termine $\sqrt{n}$ al denominatore spiega perché campioni più grandi forniscono stime della media più precise. Se la dimensione del campione cresce, il denominatore cresce e quindi l’errore standard diminuisce.

Ma il cambiamento non è lineare. Per dimezzare l’errore standard, di solito serve circa quadruplicare la dimensione del campione, perché

$$\frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

Errori comuni sull’errore standard

1. Usare errore standard e deviazione standard come se fossero intercambiabili.
2. Dire che un errore standard piccolo significa che i dati grezzi hanno poca dispersione. Questa conclusione non segue, a meno che tu non sappia anche che la deviazione standard è piccola.
3. Dimenticare che la formula $SE(\bar{x}) \approx s/\sqrt{n}$ qui vale specificamente per la media campionaria.
4. Supporre che un campione più grande elimini sempre il bias. Un $n$ più grande riduce la variabilità dovuta al campionamento casuale, ma non corregge automaticamente un campione distorto.

Quando si usa l’errore standard

L’errore standard è importante quando vuoi valutare quanto è precisa una stima. Compare negli intervalli di confidenza, nei test di ipotesi, nell’output della regressione e nei risultati dei sondaggi.

In ogni caso, l’idea è la stessa: l’errore standard aiuta a collegare un singolo campione all’incertezza della stima ottenuta da quel campione.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con $s = 12$ e $n = 36$. Calcola l’errore standard della media, poi confrontalo con il caso in cui $n = 144$. È un modo rapido per vedere come la dimensione del campione cambia la precisione. Se vuoi andare oltre, passa a un intervallo di confidenza e osserva come l’errore standard ne influenza l’ampiezza.