Standard Error — Rumus, Arti, dan Bedanya dengan Simpangan Baku

Standard error memberi tahu seberapa besar suatu estimasi dari sampel biasanya akan berubah dari satu sampel acak ke sampel acak lainnya. Di halaman ini, estimasi tersebut adalah rata-rata sampel. Ini mengukur variasi sampling yang khas dari rata-rata, bukan sebaran data mentah.

Untuk rata-rata sampel, standard error adalah

$$SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

jika simpangan baku populasi $\sigma$ diketahui. Dalam praktiknya, $\sigma$ sering tidak diketahui, sehingga diestimasi dengan simpangan baku sampel $s$:

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Rumus ini berlaku untuk rata-rata dalam pengaturan yang umum: observasi diperlakukan sebagai sampel acak independen, dan Anda ingin mengetahui ketelitian rata-rata sampel. Standard error yang lebih kecil berarti estimasi yang lebih presisi.

Apa yang Sebenarnya Diukur oleh Standard Error

Standard error berkaitan dengan suatu estimasi, bukan dengan observasi individual. Jika Anda terus mengambil sampel baru dengan ukuran yang sama dari populasi yang sama, rata-rata sampel akan berubah-ubah. Standard error menggambarkan besarnya perubahan itu yang biasanya terjadi.

Itulah sebabnya standard error menjadi lebih kecil ketika $n$ bertambah besar. Merata-ratakan lebih banyak observasi biasanya membuat rata-rata sampel lebih stabil dari satu sampel ke sampel lain, dengan asumsi proses pengumpulan datanya tetap sebanding.

Standard Error vs Simpangan Baku

Inilah perbedaan yang paling sering menimbulkan kebingungan. Simpangan baku menggambarkan seberapa tersebar nilai data dalam satu kumpulan data. Standard error menggambarkan seberapa tersebar suatu statistik, seperti rata-rata sampel, jika dilihat pada banyak pengambilan sampel berulang.

Untuk rata-rata, keduanya dihubungkan oleh

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}}$$

ketika Anda melakukan estimasi dari sebuah sampel. Jadi, standard error memang menggunakan simpangan baku, tetapi keduanya menjawab pertanyaan yang berbeda.

Gunakan ringkasan ini:

1. Simpangan baku menjawab, "Seberapa tersebar nilai datanya?"
2. Standard error menjawab, "Seberapa presisi rata-rata sampel saya sebagai estimasi?"

Satu Contoh Perhitungan Standard Error

Misalkan sebuah sampel dengan $n = 25$ siswa memiliki nilai ujian rata-rata $78$ dan simpangan baku sampel $10$.

Estimasi standard error dari rata-rata adalah

$$SE(\bar{x}) \approx \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

Poin pentingnya adalah interpretasinya. Nilai $2$ tidak berarti sebagian besar siswa berada dalam jarak $2$ poin dari $78$. Itu akan mencampuradukkan standard error dengan simpangan baku.

Sebaliknya, ini berarti bahwa jika Anda berulang kali mengambil sampel acak serupa yang terdiri dari $25$ siswa dari populasi yang sama, rata-rata sampel biasanya akan bervariasi sekitar $2$ poin dari satu sampel ke sampel lainnya.

Mengapa Rumus Menggunakan $\sqrt{n}$

$\sqrt{n}$ di penyebut menjelaskan mengapa sampel yang lebih besar menghasilkan estimasi rata-rata yang lebih presisi. Jika ukuran sampel bertambah, penyebut juga bertambah, sehingga standard error menjadi lebih kecil.

Namun, perubahannya tidak linear. Untuk mengurangi standard error menjadi setengahnya, Anda biasanya memerlukan ukuran sampel sekitar empat kali lebih besar, karena

$$\frac{1}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}}$$

Kesalahan Umum tentang Standard Error

1. Menggunakan standard error dan simpangan baku seolah-olah keduanya bisa saling menggantikan.
2. Mengatakan bahwa standard error yang kecil berarti data mentah memiliki sebaran yang kecil. Kesimpulan itu tidak otomatis benar kecuali Anda juga tahu bahwa simpangan bakunya kecil.
3. Lupa bahwa rumus $SE(\bar{x}) \approx s/\sqrt{n}$ di sini secara khusus berlaku untuk rata-rata sampel.
4. Menganggap bahwa sampel yang lebih besar selalu memperbaiki bias. Nilai $n$ yang lebih besar memang mengurangi variasi sampling acak, tetapi tidak otomatis memperbaiki sampel yang bias.

Kapan Standard Error Digunakan

Standard error penting ketika Anda ingin menilai seberapa presisi suatu estimasi. Konsep ini muncul dalam interval kepercayaan, uji hipotesis, output regresi, dan hasil survei.

Dalam setiap kasus, idenya sama: standard error membantu menghubungkan satu sampel dengan ketidakpastian pada estimasi yang berasal dari sampel tersebut.

Coba Soal Serupa

Coba versi Anda sendiri dengan $s = 12$ dan $n = 36$. Hitung standard error dari rata-rata, lalu bandingkan dengan kasus saat $n = 144$. Itu adalah cara cepat untuk melihat bagaimana ukuran sampel mengubah presisi. Jika ingin melangkah lebih jauh, pelajari interval kepercayaan berikutnya dan lihat bagaimana standard error memengaruhi lebarnya.