สมการกำลังสอง — สูตร วิธีแก้ และตัวอย่าง

สมการกำลังสองคือสมการที่เขียนให้อยู่ในรูป

$$ax^2 + bx + c = 0$$

โดยมีเงื่อนไขว่า $a \ne 0$ นั่นแปลว่าเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรเป็น $2$ ถ้า $a = 0$ พจน์ $x^2$ จะหายไป และสมการจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีก

ถ้าคุณค้นหาว่า "สมการกำลังสองคืออะไร" หรือ "สูตรสมการกำลังสองใช้ยังไง" ให้จำแก่นสั้น ๆ ก่อน: จัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน อ่านค่า $a$, $b$, $c$ ให้ถูก แล้วเลือกวิธีแก้ ถ้าแยกตัวประกอบไม่ง่าย สูตรสมการกำลังสองเป็นวิธีมาตรฐานที่ใช้ได้ตรงไปตรงมา

สมการกำลังสองดูออกอย่างไร

ให้เช็กสองอย่างพร้อมกัน คือเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรต้องเป็น $2$ และสมการต้องจัดรูปได้เป็น

$$ax^2 + bx + c = 0$$

ถ้าผ่านทั้งสองข้อ ก็เป็นสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่เป็นสมการกำลังสอง:

• $x^2 - 5x + 6 = 0$
• $2x^2 + x - 3 = 0$
• $3x^2 = 12x - 9$

ตัวอย่างที่ไม่ใช่:

• $x^3 - 1 = 0$
• $2x + 7 = 0$
• $xy + 1 = 0$

ข้อสำคัญคือบางโจทย์ต้องจัดรูปก่อนจึงจะเห็นชัด เช่น $3x^2 = 12x - 9$ ต้องย้ายข้างเป็น $3x^2 - 12x + 9 = 0$ ก่อน

สูตรสมการกำลังสองใช้เมื่อไร

เมื่อสมการอยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว สูตรที่ใช้ได้เสมอคือ

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

สูตรนี้เหมาะเมื่อแยกตัวประกอบได้ไม่ง่าย หรือเมื่อคุณต้องการวิธีมาตรฐานที่ใช้ได้กับทุกข้อภายใต้เงื่อนไขว่า $a \ne 0$

อีกค่าหนึ่งที่ควรรู้คือ

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

ซึ่งช่วยบอกลักษณะของคำตอบ ถ้าพิจารณาในจำนวนจริง:

• ถ้า $\Delta > 0$ จะมีคำตอบจริง $2$ ค่าต่างกัน
• ถ้า $\Delta = 0$ จะมีคำตอบจริง $1$ ค่าซ้ำ
• ถ้า $\Delta < 0$ จะไม่มีคำตอบจริง

ทำไมสมการกำลังสองจึงมักมีสองคำตอบ

ให้มองสมการกำลังสองผ่านกราฟของ

$$y = ax^2 + bx + c$$

กราฟนี้เป็นพาราโบลา ไม่ใช่เส้นตรง คำตอบของสมการคือค่า $x$ ที่ทำให้กราฟตัดแกน $x$ หรือแตะแกน $x$

จึงไม่แปลกที่สมการกำลังสองอาจมีสองคำตอบ หนึ่งคำตอบซ้ำ หรือไม่มีคำตอบจริงเลย เพราะพาราโบลาอาจตัดแกน $x$ สองจุด แตะเพียงจุดเดียว หรือไม่ตัดเลย

ตัวอย่างแก้สมการกำลังสองทีละขั้น

แก้สมการ

$$2x^2 + x - 3 = 0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว ดังนั้นอ่านได้ว่า

$$a = 2,\quad b = 1,\quad c = -3$$

เริ่มจากหาค่า $b^2 - 4ac$

$$b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$$

แทนลงในสูตรสมการกำลังสอง

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(2)}$$

จึงได้

$$x = \frac{-1 \pm 5}{4}$$

แยกเป็นสองกรณี

$$x = \frac{-1 + 5}{4} = 1$$

และ

$$x = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$$

ดังนั้นคำตอบคือ $x = 1$ และ $x = -\frac{3}{2}$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าแม้จะไม่ได้เดาการแยกตัวประกอบ สูตรก็ยังพาไปถึงคำตอบได้ตรง ๆ

จุดที่มักพลาดเวลาแก้สมการกำลังสอง

ไม่ย้ายสมการให้อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$

สูตรสมการกำลังสองอ่านค่า $a$, $b$, $c$ จากรูปมาตรฐาน ถ้ายังไม่ย้ายข้างก่อน มักใส่ค่าผิดตั้งแต่ต้น

อ่านเครื่องหมายของ $b$ หรือ $c$ ผิด

เช่นใน $2x^2 + x - 3 = 0$ ค่า $c$ คือ $-3$ ไม่ใช่ $3$ พอเครื่องหมายผิด ค่า $b^2 - 4ac$ ก็ผิดตามทันที

ลืมเครื่องหมาย $\\pm$

สูตรให้สองกรณี ถ้าลืม $\\pm$ คุณอาจเก็บคำตอบมาได้แค่ครึ่งเดียว

คิดว่าสมการกำลังสองต้องมีคำตอบจริงเสมอ

ไม่จริง ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ สมการจะไม่มีคำตอบจริง แม้ยังเป็นสมการกำลังสองอยู่

สมการกำลังสองใช้ในเรื่องไหน

หัวข้อนี้เจอบ่อยในพีชคณิต การวาดกราฟ และโจทย์ประยุกต์ที่มีความสัมพันธ์โค้ง เช่น

• การหาจุดตัดแกนของพาราโบลา
• การหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของนิพจน์กำลังสอง
• โจทย์การเคลื่อนที่หรือเรขาคณิตบางแบบที่เกิดพจน์ $x^2$

ดังนั้นแม้เป้าหมายตอนนี้จะเป็นแค่สอบผ่าน การเข้าใจสมการกำลังสองให้แม่นจะช่วยต่อยอดไปยังกราฟ ฟังก์ชัน และแคลคูลัสพื้นฐานได้ง่ายขึ้น

สรุปสมการกำลังสองให้จำได้เร็ว

สมการกำลังสองคือสมการที่จัดให้อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ได้ โดย $a \ne 0$ วิธีเริ่มที่ปลอดภัยที่สุดคือจัดรูปก่อน อ่านค่า $a$, $b$, $c$ ให้ถูก แล้วค่อยเลือกวิธีแก้

ถ้าโจทย์แยกตัวประกอบได้ง่ายก็ใช้วิธีนั้น แต่ถ้าต้องการวิธีที่ใช้ได้ทั่วไป ให้ใช้สูตร

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

และใช้ $b^2 - 4ac$ ช่วยเช็กภาพรวมของคำตอบจริง

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแก้

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

ก่อนด้วยการแยกตัวประกอบ แล้วลองแก้อีกครั้งด้วยสูตรสมการกำลังสองเพื่อเทียบคำตอบ วิธีนี้ช่วยให้เห็นว่าทั้งสองทางให้ผลตรงกัน

ถ้าคุณอยากลองต่ออีกข้อ ลองทำโจทย์ที่แยกตัวประกอบไม่ง่าย แล้วเช็กทุกขั้นด้วยการแทนค่ากลับในสมการเดิม