ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — สูตร พิสูจน์ และตัวอย่าง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือสูตรสำหรับหาความยาวด้านในสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้านประกอบมุมฉากยาว $a$ และ $b$ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $c$ จะได้ว่า

$$c^2 = a^2 + b^2$$

ถ้าคุณค้นหา "สูตรพีทาโกรัส" สิ่งที่ต้องรู้ที่สุดมีแค่นี้: สูตรนี้ใช้ได้เมื่อโจทย์เป็น สามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น และ $c$ ต้องเป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเสมอ

สูตรพีทาโกรัสหมายความว่าอะไร

สูตรนี้ไม่ได้บอกว่าเอาความยาวมาบวกกันตรง ๆ แต่บอกว่า "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก" เท่ากับ "ผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้าน"

ถ้ามองเป็นภาพเรขาคณิต จะเทียบได้กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนแต่ละด้าน โดยพื้นที่บนด้าน $c$ จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่บนด้าน $a$ และ $b$ นี่คือเหตุผลที่พจน์กำลังสองสำคัญมาก และทำไมเราไม่เขียนว่า $c = a + b$

ด้านไหนคือ $a$, $b$ และ $c$

$c$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก ส่วน $a$ และ $b$ คือสองด้านที่ประกอบกันเป็นมุม $90^\circ$

ถ้าระบุตัวอักษรผิดตั้งแต่ต้น สูตรจะยังคำนวณได้ แต่คำตอบจะผิดทันที เวลาทำโจทย์จึงควรหาด้านตรงข้ามมุมฉากก่อนเสมอ แล้วค่อยแทนค่าลงในสมการ

ทำไมสูตรนี้จึงสมเหตุสมผล

ลองนึกถึงการเดินบนพื้นแบบแนวนอนและแนวตั้ง สองช่วงนี้คือด้าน $a$ และ $b$ ส่วนเส้นทแยงที่เชื่อมต้นทางกับปลายทางคือด้าน $c$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทำหน้าที่เชื่อม "ระยะสองช่วงที่ตั้งฉากกัน" กับ "ระยะตรงเส้นเดียว" จึงถูกใช้บ่อยในโจทย์ระยะทาง เส้นทแยงมุม และพิกัดบนกราฟ

พิสูจน์พีทาโกรัสแบบสั้น

วิธีพิสูจน์ที่พบได้บ่อยคือใช้เรื่องพื้นที่ สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ด้านยาว $a+b$ แล้ววางสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากัน 4 รูปไว้ข้างใน จะเหลือพื้นที่ตรงกลางเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $c$

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่จึงเขียนได้สองแบบ

แบบที่หนึ่ง:

$$(a+b)^2$$

แบบที่สอง:

$$4\left(\frac{1}{2}ab\right) + c^2 = 2ab + c^2$$

เท่ากับว่า

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

กระจายพจน์ทางซ้ายจะได้

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$

ตัด $2ab$ ออกทั้งสองข้าง เหลือ

$$c^2 = a^2 + b^2$$

จุดสำคัญของการพิสูจน์นี้คือ เราใช้รูปเดียวกันแต่คำนวณพื้นที่สองวิธี แล้วได้สมการเดียวกันออกมา

ตัวอย่างโจทย์พีทาโกรัสแบบทำทีละขั้น

โจทย์: สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว $6$ ซม. และ $8$ ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

เริ่มจากระบุด้านให้ชัด: $a = 6$, $b = 8$ และต้องการหา $c$ เพราะโจทย์ถามด้านตรงข้ามมุมฉาก

ใช้สูตร

$$c^2 = a^2 + b^2$$

แทนค่า

$$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

ถอดรากที่สอง

$$c = \sqrt{100} = 10$$

ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม.

ลำดับที่ถูกต้องคือ ยกกำลังสองก่อน บวกให้เสร็จ แล้วค่อยถอดรากที่สองในขั้นสุดท้าย

ถ้ารู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก จะหาอีกด้านอย่างไร

ถ้าโจทย์ให้ $c$ มาก่อน ก็ยังใช้แนวคิดเดิมได้ แต่ต้องย้ายข้างสมการ เช่น ถ้า $c = 13$ และ $b = 5$ จะได้

$$a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

ดังนั้น

$$a = 12$$

จุดที่ต้องระวังคือ ด้านที่นำไปลบออกต้องไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก เพราะ $c$ ต้องเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

จุดที่นักเรียนมักพลาดเวลาใช้สูตรพีทาโกรัส

1. ใช้สูตรกับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ถ้าโจทย์ไม่ได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรนี้ใช้ไม่ได้โดยตรง เงื่อนไขนี้สำคัญกว่าสูตรเสียอีก

2. ใส่ $c$ ผิดด้าน

$c$ ต้องเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ไม่ใช่เลือกด้านไหนก็ได้ ถ้าเลือกผิด คำตอบจะเพี้ยนตั้งแต่ต้น

3. ลืมถอดราก

ถ้าคุณหาได้แค่ $c^2 = 100$ คำตอบสุดท้ายยังไม่ใช่ $100$ แต่เป็น $c = 10$

4. จำผิดเป็น $c = a + b$

สิ่งที่บวกกันคือกำลังสองของความยาว ไม่ใช่ความยาวตรง ๆ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้เมื่อไร

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้บ่อยเมื่อโจทย์ถามหาระยะทางหรือความยาวด้านที่ขาดอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เช่น ความยาวบันได ระยะทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือระยะระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัด

สูตรหาระยะทางบนกราฟก็เป็นการต่อยอดแนวคิดเดียวกัน โดยใช้ความต่างของพิกัดในแนวนอนและแนวตั้งแทน $a$ และ $b$ ถ้าคุณเข้าใจพีทาโกรัสดี สูตรระยะทางจะเข้าใจง่ายขึ้นมาก

ลองทำโจทย์ที่ใกล้เคียงต่อ

ลองเปลี่ยนโจทย์เป็นด้านประกอบมุมฉากยาว $5$ ซม. และ $12$ ซม. แล้วหาด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยตัวเองก่อน จากนั้นค่อยลองโจทย์กลับด้านที่ให้ $c = 13$ และอีกด้านหนึ่งยาว $5$ เพื่อฝึกการย้ายข้างสมการ

ถ้าคุณอยากต่อยอดจากแนวคิดเดียวกัน ลองอ่านเรื่องสูตรหาระยะทางบนระนาบพิกัดต่อ จะเห็นทันทีว่ามันใช้พีทาโกรัสในรูปแบบเดิม