เศษส่วน — การบวก ลบ คูณ หาร

เศษส่วนคือจำนวนในรูป $a/b$ โดยมีเงื่อนไขว่า $b \ne 0$ ตัวบนคือ "ตัวเศษ" และตัวล่างคือ "ตัวส่วน" ถ้าต้องการจำวิธีบวก ลบ คูณ หารเศษส่วนให้เร็ว ให้จำแกนหลักนี้ก่อน: บวกกับลบต้องทำตัวส่วนให้เท่ากัน ส่วนคูณกับหารไม่ต้อง

เหตุผลคือ ตัวส่วนบอกขนาดของชิ้นที่เรากำลังนับอยู่ ถ้าจะบวกหรือลบกันตรง ๆ ชิ้นนั้นต้องมีขนาดเท่ากันก่อน

เศษส่วนคืออะไร

เศษส่วน $\frac{3}{4}$ หมายถึง $3$ ส่วนจากทั้งหมด $4$ ส่วนที่เท่ากัน ส่วน $\frac{1}{2}$ หมายถึง $1$ ส่วนจากทั้งหมด $2$ ส่วนที่เท่ากัน

ทั้งสองจำนวนเป็น "ส่วนของทั้งหมด" เหมือนกัน แต่ขนาดของชิ้นไม่เท่ากัน จึงยังบวกหรือลบตรง ๆ ไม่ได้จนกว่าจะเขียนให้มีตัวส่วนร่วม

กฎบวก ลบ คูณ หารเศษส่วนที่ควรจำ

สำหรับ $b \ne 0$ และ $d \ne 0$

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$

สองสูตรนี้มาจากการทำให้มีตัวส่วนร่วมเป็น $bd$ ซึ่งใช้ได้เสมอ แต่ในโจทย์จริงคุณอาจเลือกตัวส่วนร่วมที่เล็กกว่านี้เพื่อคำนวณง่ายขึ้น

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

และถ้า $c \ne 0$

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

เงื่อนไข $c \ne 0$ สำคัญ เพราะการหารด้วยศูนย์ทำไม่ได้

สรุปสั้น ๆ คือ บวกและลบต้องทำให้ชิ้นมีขนาดเท่ากันก่อน ส่วนคูณและหารใช้กฎอีกแบบ ไม่ต้องหาตัวส่วนร่วม

ตัวอย่างเดียวที่เห็นครบทั้ง 4 แบบ

ใช้เศษส่วนคู่เดียวกันตลอดคือ $\frac{3}{4}$ และ $\frac{1}{2}$ เพื่อให้เห็นความต่างของแต่ละการกระทำชัด ๆ

การบวก

ทำ $\frac{1}{2}$ ให้มีตัวส่วนเป็น $4$ ก่อน

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$

จึงได้

$$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$$

คำตอบนี้เท่ากับ $1 \frac{1}{4}$ ด้วย แปลว่าผลบวกมากกว่า $1$ ซึ่งสมเหตุสมผล

การลบ

ยังใช้ตัวส่วนร่วมเดิมได้

$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$$

การคูณ

การคูณไม่ต้องทำตัวส่วนเท่ากัน

$$\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$$

ผลคูณเล็กกว่าแต่ละจำนวนเดิม เพราะกำลังหา "ครึ่งหนึ่งของ $\frac{3}{4}$"

การหาร

กลับเฉพาะเศษส่วนตัวที่สองแล้วคูณ

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

หรือเขียนเป็น $1 \frac{1}{2}$ ก็ได้ คำตอบมากกว่า $\frac{3}{4}$ เพราะโจทย์นี้ถามว่า "ใน $\frac{3}{4}$ มีครึ่งหนึ่งอยู่กี่ครั้ง"

ทำไมการบวกเศษส่วนต้องทำตัวส่วนเท่ากัน

ลองคิดว่า $\frac{1}{2}$ คือชิ้นที่ใหญ่กว่า $\frac{1}{4}$ ถ้าคุณเอาแค่ตัวเศษและตัวส่วนมาบวกตรง ๆ เช่น

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \ne \frac{2}{6}$$

เหตุผลคือคุณกำลังเอาชิ้นคนละขนาดมารวมกัน การทำตัวส่วนเท่ากันคือการเปลี่ยนให้ทั้งสองจำนวนพูดภาษาเดียวกันก่อน เช่น

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$

แล้วจึงได้

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

หลักเดียวกันนี้ใช้กับการลบด้วย ถ้าตัวส่วนยังไม่เท่ากัน ต้องทำให้เท่ากันก่อนเสมอ

จุดพลาดที่ทำให้ตอบผิดบ่อย

1. บวกตัวเศษและตัวส่วนตรง ๆ

รูปแบบอย่าง $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ ไม่ถูก ต้องหาตัวส่วนร่วมก่อน

2. คิดว่าทุกการกระทำต้องทำตัวส่วนเท่ากัน

จริงเฉพาะการบวกและการลบเท่านั้น การคูณกับหารใช้คนละกฎ

3. กลับเศษส่วนผิดตัวตอนหาร

เวลาหาร ให้กลับเฉพาะเศษส่วนตัวที่สอง ไม่ใช่กลับทั้งสองตัว

4. ไม่ย่อคำตอบ

เช่น $\frac{6}{4}$ ควรย่อเป็น $\frac{3}{2}$ เพื่อให้อ่านง่ายขึ้น

5. ลืมเงื่อนไขเรื่องศูนย์

ตัวส่วนของเศษส่วนห้ามเป็นศูนย์ และในการหาร เศษส่วนตัวที่สองก็ห้ามมีค่าเป็นศูนย์ด้วย

เศษส่วนใช้ในเรื่องไหนบ้าง

เศษส่วนใช้บ่อยเมื่อปริมาณไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม เช่น การแบ่งอาหาร การชั่งตวงวัด เวลา สัดส่วน และความน่าจะเป็น

ในห้องเรียน เศษส่วนยังเป็นพื้นฐานของทศนิยม ร้อยละ สมการ และพีชคณิตต่อไป ถ้ากฎ 4 แบบนี้แม่น เรื่องถัดไปจะง่ายขึ้นมาก

ลองทำโจทย์คล้ายกันต่อ

ลองใช้คู่ $\frac{5}{6}$ และ $\frac{1}{3}$ แล้วทำทั้งการบวก ลบ คูณ และหาร

ถามตัวเองทุกครั้งว่า "ข้อนี้ต้องทำตัวส่วนเท่ากันไหม" ถ้าตอบข้อนี้ได้ถูกตั้งแต่ต้น โอกาสทำผิดจะลดลงมาก

ถ้าอยากลองอีกแบบ ลองเปลี่ยนโจทย์ให้มีคำตอบมากกว่า $1$ หรือมีคำตอบที่ย่อส่วนได้ แล้วสังเกตว่ากฎเดิมยังใช้ได้เหมือนเดิม