Progressão Aritmética (PA)

Progressão aritmética (PA) é uma sequência em que a diferença entre um termo e o seguinte é sempre a mesma. Se você pesquisou "o que é PA", essa é a ideia central: a sequência anda em passos fixos.

Na sequência $3, 7, 11, 15, \ldots$, o passo é $4$. Na sequência $20, 17, 14, 11, \ldots$, o passo é $-3$. Esse passo constante recebe o nome de razão.

Como identificar uma progressão aritmética

Para reconhecer uma PA, compare diferenças consecutivas, não os próprios termos.

$$5,\ 9,\ 13,\ 17,\ 21$$

As diferenças são $4, 4, 4, 4$. Como o salto não muda, a sequência é uma PA.

Agora compare com

$$2,\ 5,\ 9,\ 14$$

As diferenças são $3, 4, 5$. Como mudam de um passo para o outro, isso não é uma PA.

Fórmula do termo geral da PA

Se o primeiro termo é $a_1$ e a razão é $r$, o termo da posição $n$ é

$$a_n = a_1 + (n - 1)r$$

O fator $(n - 1)$ aparece porque, saindo do primeiro termo, você dá $n - 1$ passos de tamanho $r$ até chegar à posição $n$.

Fórmula da soma dos primeiros termos

Para somar os primeiros $n$ termos de uma PA, use

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Essa fórmula vale quando a sequência é realmente uma PA e a soma vai do primeiro termo até o termo de posição $n$. Se $a_n$ ainda não é conhecido, primeiro encontre esse termo.

Exemplo resolvido: achar o 12º termo e a soma

Considere a PA

$$4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ \ldots$$

Aqui, $a_1 = 4$ e $r = 3$.

Para encontrar o $12$º termo:

$$a_{12} = a_1 + (12 - 1)r = 4 + 11 \cdot 3 = 37$$

Agora calcule a soma dos $12$ primeiros termos:

$$\begin{aligned} S_{12} &= \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} \\ &= \frac{12(4 + 37)}{2} \\ &= \frac{12 \cdot 41}{2} \\ &= 246 \end{aligned}$$

Resultado: o $12$º termo é $37$ e a soma dos $12$ primeiros termos é $246$.

Intuição: quando a PA aparece

A PA aparece quando uma quantidade cresce ou diminui sempre pelo mesmo valor. Isso acontece em padrões como "ganhar 5 pontos por rodada", "descer 2 andares por etapa" ou "acrescentar R$ 50 por mês".

Se a mudança acontece por multiplicação, o modelo já não é uma PA. Nesse caso, o conceito mais provável é progressão geométrica.

Erros comuns em progressão aritmética

Confundir razão com termo

A razão é a diferença entre termos consecutivos. Em $8, 12, 16$, a razão é $4$, não $12$.

Esquecer o $(n - 1)$

Escrever $a_n = a_1 + nr$ desloca todos os termos. O correto é $a_n = a_1 + (n - 1)r$.

Ignorar o sinal da razão

Se a sequência diminui, a razão é negativa. Em $15, 11, 7, 3$, a razão é $-4$.

Usar a fórmula da soma fora de contexto

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ serve para os primeiros $n$ termos de uma PA. Se a sequência não tiver diferença constante, a fórmula não se aplica.

Onde a progressão aritmética é usada

A PA aparece em exercícios escolares, padrões numéricos, filas, parcelamentos com acréscimo fixo e problemas com variação constante. Ela também ajuda a construir a intuição para funções lineares, porque nos dois casos a taxa de variação é constante.

Tente sua própria versão

Tente resolver a sequência $30, 26, 22, 18, \ldots$: encontre a razão, calcule o $15$º termo e depois some os $15$ primeiros termos. Se quiser avançar, explore também um caso de progressão geométrica e compare quando a mudança é por soma e quando é por multiplicação.