Progressão Geométrica (PG)

Progressão geométrica, ou PG, é a sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior pela mesma constante, chamada razão. Se você quer reconhecer uma PG rápido, a pergunta central é esta: a razão entre termos consecutivos permanece a mesma?

Em forma simbólica, uma PG pode ser escrita como

$$a_1,\ a_1q,\ a_1q^2,\ a_1q^3,\ \dots$$

Aqui, $a_1$ é o primeiro termo e $q$ é a razão.

Como identificar uma progressão geométrica

Numa progressão geométrica, a passagem de um termo para o seguinte acontece por multiplicação, não por soma. Isso distingue a PG da progressão aritmética, em que o que fica constante é a diferença entre os termos.

Se $a_{n-1} \ne 0$, você pode verificar a razão por

$$q = \frac{a_n}{a_{n-1}}.$$

Na sequência $3, 6, 12, 24$, por exemplo, cada termo é o anterior multiplicado por $2$. Logo, ela é uma PG de razão $q = 2$.

Fórmula do termo geral da PG

Se o primeiro termo é $a_1$ e a razão é $q$, então o $n$-ésimo termo é

$$a_n = a_1 q^{n-1}.$$

O expoente $n-1$ aparece porque, para sair de $a_1$ e chegar até $a_n$, você multiplica por $q$ exatamente $n-1$ vezes. Esse detalhe evita um erro comum: escrever $a_n = a_1 q^n$ e deslocar todos os termos uma posição.

Intuição: quando a PG cresce ou diminui

Uma PG modela crescimento ou decaimento multiplicativo. Isso aparece quando uma quantidade dobra, cai pela metade ou cresce $10\\%$ a cada período.

Se $q > 1$ e $a_1 > 0$, os termos crescem. Se $0 < q < 1$, eles se aproximam de zero. Se $q < 0$, os sinais alternam.

Essas conclusões dependem das condições sobre $q$ e, em alguns casos, sobre $a_1$. Sem deixar isso explícito, fica fácil tirar conclusões erradas sobre o comportamento da sequência.

Exemplo resolvido: achar a razão, o sexto termo e a soma

Considere a PG

$$2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \dots$$

Primeiro, identifique os dados principais:

• $a_1 = 2$
• $q = 3$, porque $6/2 = 3$ e $18/6 = 3$

Encontrando o sexto termo

Use o termo geral:

$$a_n = a_1 q^{n-1}.$$

Para $n = 6$:

$$a_6 = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486.$$

Somando os cinco primeiros termos

Como $q \\ne 1$, a soma dos $n$ primeiros termos é

$$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}.$$

Então:

$$S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242.$$

Vale conferir pela soma direta:

$$2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.$$

Esse exemplo resume a lógica da PG: identificar a razão, usar o termo geral para achar um termo específico e aplicar a soma apenas quando a condição sobre $q$ estiver clara.

Quando a fórmula da soma muda

Se $q = 1$, a sequência fica constante:

$$a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \dots$$

Nesse caso, não faz sentido usar a divisão por $q - 1$, porque $q - 1 = 0$. A soma correta passa a ser

$$S_n = n a_1.$$

Esse é um dos pontos que mais derrubam em exercício: a fórmula com fração não vale quando $q = 1$.

Erros comuns em progressão geométrica

1. Confundir PG com PA. Em PG, você procura multiplicação constante, não diferença constante.
2. Usar $a_n = a_1 q^n$ em vez de $a_n = a_1 q^{n-1}$.
3. Aplicar a fórmula da soma sem verificar se $q = 1$.
4. Dizer que toda PG cresce. Isso depende do valor de $q$ e, em alguns casos, do sinal de $a_1$.
5. Conferir a razão só em um trecho da sequência e assumir que o resto segue o mesmo padrão.

Onde a PG aparece na prática

PG aparece quando a variação é multiplicativa de período para período. Alguns exemplos comuns são:

• juros compostos
• crescimento populacional em modelos simplificados
• decaimento exponencial em modelos discretos
• duplicação ou redução sucessiva de quantidades

Na prática, a pergunta-chave é esta: a quantidade muda somando sempre a mesma parcela ou multiplicando sempre pelo mesmo fator? Se for por fator, a PG costuma ser o modelo certo.

Tente um caso parecido

Tente sua própria versão com a sequência $81, 27, 9, 3, \dots$. Encontre a razão, calcule $a_7$ e depois some os quatro primeiros termos. É um bom treino para separar, sem confusão, a fórmula do termo geral da fórmula da soma.