三角関数とは？sin cos tan の意味と公式一覧

三角関数は、角度を使って辺の比を読むための道具です。まず押さえるのは $\\sin$、$\\cos$、$\\tan$ の 3 つで、直角三角形の長さを求める問題で最初に使います。

直角三角形で角 $\\theta$ が鋭角なら、意味は次の 3 つです。

$$\sin \theta = \frac{\text{向かい側}}{\text{斜辺}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{向かい側}}{\text{隣辺}}$$

大事なのは、三角関数が長さそのものではなく「長さどうしの比」を見ていることです。同じ角なら三角形の大きさが変わっても、この比は変わりません。

三角関数とは何を表すのか

$\\sin \\theta$ は「向かい側が斜辺の何倍か」、$\\cos \\theta$ は「隣辺が斜辺の何倍か」、$\\tan \\theta$ は「向かい側が隣辺の何倍か」を表します。つまり、角度が決まると辺の比も決まる、というのが三角関数の核です。

ここで間違えやすいのは、向かい側と隣辺が図に固定された名前ではないことです。どの角を $\\theta$ と見るかで、向かい側と隣辺は入れ替わります。

sin cos tan でまず覚える公式

入門でよく使う公式は多くありません。まずは次の 3 つを確実に使えるようにすると十分です。

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \qquad (\cos \theta \ne 0)$$

2 つ目の式は最重要です。3 つ目は、$\\tan \theta = \\frac{\\sin \theta}{\\cos \theta}$ を使って $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$ を変形した形なので、$\\cos \\theta = 0$ のときはそのまま使えません。

よく使う角度の値を先に押さえる

0^\\circ、30^\\circ、45^\\circ、60^\\circ、90^\\circ は頻出です。ここは表で見ておくと速いです。

角度	$\\sin \\theta$	$\\cos \\theta$	$\\tan \\theta$
0^\\circ	$0$	$1$	$0$
30^\\circ	$\\frac\{1\}\{2\}$	\\frac\{\\sqrt\{3\}}\{2\}	\\frac\{\\sqrt\{3\}}\{3\}
45^\\circ	\\frac\{\\sqrt\{2\}}\{2\}	\\frac\{\\sqrt\{2\}}\{2\}	$1$
60^\\circ	\\frac\{\\sqrt\{3\}}\{2\}	$\\frac\{1\}\{2\}$	$\\sqrt\{3\}$
90^\\circ	$1$	$0$	定義されない

この表で特に大事なのは、$\\tan \\theta$ がいつでも使えるわけではないことです。90^\\circ では $\\cos \\theta = 0$ になり、$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$ の分母が $0$ になるので定義されません。

例題で sin cos tan の使い分けを見る

斜辺が $10$、隣辺が $8$ の直角三角形で、角 $\\theta$ をその隣辺に接する鋭角とします。$\\sin \\theta$、$\\cos \\theta$、$\\tan \\theta$ を求めます。

まず、足りない辺を出します。ピタゴラスの定理より

$$\text{向かい側}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$

なので、向かい側は $6$ です。ここまで出れば、あとは定義にそのまま入れます。

$$\sin \theta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad \cos \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \qquad \tan \theta = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

この例で大事なのは、計算より順番です。角を決める、辺の名前を決める、足りない辺を出す、必要な比を選ぶ。この流れで考えると、三角関数の問題はかなり整理しやすくなります。

三角関数でよくある間違い

向かい側と隣辺を図の固定名だと思う

向かい側と隣辺は、必ず基準の角に対して決まります。同じ図でも角を変えれば意味が変わるので、公式より先に角を確認するのが安全です。

$\\tan \\theta$ をいつでも使えると思う

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$ は便利ですが、$\\cos \\theta \\ne 0$ が条件です。たとえば 90^\\circ では分母が $0$ になるので、$\\tan \\theta$ は定義されません。

度数法とラジアンを混同する

電卓を使うときは、角度が 30^\\circ のような度数法なのか、$\\pi/6$ のようなラジアンなのかを確認します。モードがずれると、計算自体が合っていても答えはずれます。

直角三角形の定義をそのまま広い角に使う

辺の比としての定義は、まず直角三角形で学びます。90^\\circ を超える角や負の角を扱うときは、単位円での見方に切り替える必要があります。

三角関数はどんなときに使うか

学校数学では、直角三角形の辺を求める問題、単位円、三角関数のグラフ、恒等式の変形でよく出てきます。物理では波や振動、工学では回転や傾きの計算にもつながります。

つまり三角関数は、角度の情報を数として扱うための基本言語です。直角三角形の比として意味をつかんでおくと、その先の内容にも入りやすくなります。

次に試すなら

斜辺を $13$、隣辺を $5$ に変えて、向かい側、$\\sin \\theta$、$\\cos \\theta$、$\\tan \\theta$ を同じ順番で求めてみてください。1 問だけ自分で解くと、公式の意味がかなり定着します。