分数計算機

分数計算機は、手計算と同じルールを使って、分数の足し算・引き算・掛け算・割り算・約分を行います。大事な考え方はシンプルで、足し算と引き算には通分が必要ですが、掛け算と割り算には必要ありません。

どのルールがその計算に合っているかを知っていれば、計算機をブラックボックスのように使うのではなく、答えが妥当かどうかを自分で判断できます。

分数計算機でできること

多くの分数計算機は、次の4つの基本的な計算に対応しています。

1. 分数の足し算
2. 分数の引き算
3. 分数の掛け算
4. 分数の割り算

多くの場合、最後の答えは自動で約分され、仮分数は帯分数に直して表示されることもあります。

分数 $\frac{a}{b}$ では、分母は $b \ne 0$ を満たさなければなりません。割り算では、2つ目の分数も $0$ であってはいけません。逆数が存在する必要があるからです。

分数計算機が使うルール

分母が $0$ でない分数については、次のルールを使います。

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

計算機は途中の計算をすべて表示しないこともありますが、出力の裏ではこれらのルールが使われています。足し算と引き算では、まず単位の大きさをそろえることが重要です。掛け算と割り算では、通分は中心となる手順ではありません。

同じ2つの分数で見る計算例

次の2つの分数を通して使います。

$$\frac{3}{4} \quad \text{and} \quad \frac{2}{5}$$

分数を足す

$4$ と $5$ の最小公倍数は $20$ なので、通分した分母は $20$ です。

$$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}, \qquad \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$$

したがって、

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20}$$

結果は $1$ より大きく、これはおおよその値 $0.75 + 0.4 = 1.15$ とも一致しています。

分数を掛ける

次はそのまま掛けます。

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

ここはよい対比になります。足し算では先に通分が必要でしたが、掛け算でそれをすると、ただ手間が増えるだけです。

分数計算機でよくある間違い

よくある間違いの1つは、分子どうしと分母どうしをそのまま足してしまうことです。たとえば $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ を $\frac{2}{5}$ にしてしまうような場合です。これは、もとの分数の大きさの単位が違うので正しくありません。

もう1つの間違いは、掛け算や割り算でも通分しようとしてしまうことです。その手順は見慣れているかもしれませんが、ここでは役に立ちません。

最後の大きな間違いは、割り算で逆数にする分数を取り違えることです。次の式では

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$$

逆数にするのは2つ目の分数だけで、$\frac{d}{c}$ になります。もし $\frac{c}{d} = 0$ なら、その計算は定義されません。

分数計算機を使うとよい場面

宿題の答えを確認したいとき、手計算の結果が合っているか確かめたいとき、$\frac{23}{20}$ と $1\frac{3}{20}$ のような表し方を比べたいとき、または複数の手順がある計算をすばやく進めたいときに便利です。

特に分母が扱いにくい数のときに役立ちます。そういう場面では、最初の設定ミスのような小さな誤りが起こりやすいからです。

似た分数の問題をやってみよう

$\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$ と $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8}$ で、自分でも試してみましょう。計算する前に、どちらで通分が必要かを予想できれば、考え方はしっかりつかめています。あとで計算を確かめたいなら、分数計算機は便利な最終チェックになります。