Bruchrechner

Ein Bruchrechner addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert und vereinfacht Brüche nach denselben Regeln, die du auch von Hand verwendest. Die Grundidee ist einfach: Für Addition und Subtraktion brauchst du einen gemeinsamen Nenner, für Multiplikation und Division nicht.

Wenn du weißt, welche Regel zur Rechenart passt, kannst du beurteilen, ob das Ergebnis sinnvoll ist, statt den Rechner wie eine Blackbox zu behandeln.

Was ein Bruchrechner macht

Die meisten Bruchrechner beherrschen vier grundlegende Aufgaben:

1. Brüche addieren
2. Brüche subtrahieren
3. Brüche multiplizieren
4. Brüche dividieren

Viele vereinfachen das Endergebnis auch automatisch und schreiben einen unechten Bruch möglicherweise als gemischte Zahl.

Für einen Bruch $\frac{a}{b}$ muss der Nenner die Bedingung $b \ne 0$ erfüllen. Bei einer Divisionsaufgabe muss auch der zweite Bruch von null verschieden sein, weil sein Kehrwert existieren muss.

Welche Bruchregeln der Rechner verwendet

Für Brüche mit von null verschiedenen Nennern gilt:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Ein Rechner zeigt vielleicht nicht jeden Zwischenschritt, aber diese Regeln stecken hinter dem Ergebnis. Bei Addition und Subtraktion geht es vor allem darum, zuerst gleich große Teile zu erzeugen. Bei Multiplikation und Division gehört ein gemeinsamer Nenner nicht zum Hauptschritt.

Ein durchgerechnetes Beispiel mit denselben zwei Brüchen

Verwende durchgehend dasselbe Paar:

$$\frac{3}{4} \quad \text{and} \quad \frac{2}{5}$$

Die Brüche addieren

Der gemeinsame Nenner von $4$ und $5$ ist $20$.

$$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}, \qquad \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$$

Also gilt:

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20}$$

Das Ergebnis ist größer als $1$, was zur Überschlagsrechnung $0.75 + 0.4 = 1.15$ passt.

Die Brüche multiplizieren

Jetzt multiplizierst du direkt:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Das ist ein nützlicher Vergleich. Bei der Additionsaufgabe musstest du zuerst die Nenner gleich machen. Bei der Multiplikationsaufgabe würde das nur unnötige Arbeit verursachen.

Häufige Fehler bei Bruchrechnern

Ein häufiger Fehler ist, Zähler und Nenner direkt zu addieren, also zum Beispiel aus $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ den Bruch $\frac{2}{5}$ zu machen. Das ist nicht zulässig, weil die Teile unterschiedlich groß sind.

Ein weiterer Fehler ist, bei Multiplikations- oder Divisionsaufgaben unbedingt einen gemeinsamen Nenner bilden zu wollen. Dieser Schritt wirkt vertraut, hilft dort aber nicht weiter.

Der letzte große Fehler ist, bei der Division den falschen Bruch umzudrehen. In

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$$

wird nur der zweite Bruch zu $\frac{d}{c}$. Wenn $\frac{c}{d} = 0$, ist die Aufgabe nicht definiert.

Wann du einen Bruchrechner verwenden solltest

Er ist nützlich, wenn du Hausaufgaben kontrollieren, ein von Hand gerechnetes Ergebnis überprüfen, Formen wie $\frac{23}{20}$ und $1\frac{3}{20}$ vergleichen oder mehrstufige Rechnungen schneller bearbeiten möchtest.

Besonders hilfreich ist er, wenn die Nenner unhandlich sind, denn dort passieren kleine Fehler beim Ansatz besonders leicht.

Probiere eine ähnliche Bruchaufgabe aus

Probiere deine eigene Variante mit $\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$ und danach mit $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8}$. Wenn du schon vor dem Rechnen vorhersagen kannst, welche Aufgabe einen gemeinsamen Nenner braucht, hast du die Idee verstanden. Wenn du die Rechnung danach überprüfen möchtest, ist ein Bruchrechner ein nützlicher letzter Schritt.