数学の概算とは、最初に正確な値を計算しなくても、役に立つ程度に近い答えを求めることです。生徒がよく学ぶ方法は、四捨五入と上位桁での見積もりの2つです。四捨五入は数を近くの扱いやすい数に置き換えます。上位桁での見積もりは先頭の位の値から始め、必要なら少し調整を加えます。
目標は完全な正確さではありません。必要な判断に十分な、速くて妥当で、十分に近い結果を得ることです。
四捨五入と上位桁での見積もりの意味
四捨五入は、多くの問題でより簡単な方法です。 を に、 を に丸めれば、計算はすぐに楽になります。
上位桁での見積もりは、まず大きい位の値に注目します。たとえば では、先頭の位は です。この方法は、いくつかの正の数を暗算で足すときに特に便利です。細かい部分を気にする前に、合計のおおよその大きさがわかるからです。
上位桁での見積もりは、たいてい調整を加えたほうがよくなります。先頭の桁だけで止めると、概算が小さすぎたり、大まかすぎたりすることがあります。
概算の例：四捨五入と上位桁での見積もり
次の式の概算をすばやく求めたいとします。
四捨五入による方法
それぞれの数を最も近い百の位に丸めます。
すると、概算の和は
上位桁での見積もりによる方法
まず百の位を使います。
これが調整前の上位桁での見積もりです。次に残りの部分を見ます。
は に近いので、よりよい上位桁での見積もりは
正確な和は
したがって、どちらの方法でも という役に立つ概算が得られます。この場合、四捨五入は1回で速く求められ、上位桁での見積もりは位取りの構造がより見えやすくなります。
どの位で丸めるかが重要な理由
概算が役立つのは、元の数より近くの数のほうが計算しやすいことが多いからです。近くの数をうまく選べば、小さな変化は結果をそれほど大きく動かしません。
どの位で丸めるかは重要です。最も近い十の位に丸めるほうが、最も近い百の位に丸めるよりも、たいていはより近い概算になります。ただし、そのぶん少し手間は増えます。
概算でよくある間違い
よくある間違いの1つは、概算を正確な答えのように扱うことです。概算は答えのすばやいモデルであって、最終的な値ではありません。
もう1つの間違いは、調整なしで上位桁での見積もりを使い、それで十分だと思ってしまうことです。 で のまま止めると、ずれが大きすぎます。
3つ目の間違いは、その場面に対して粗すぎる位を選ぶことです。予算の合計をかなり近く見積もりたいなら、すべてを最も近い千の位に丸めるのでは大まかすぎて役に立たないかもしれません。
丸めた向きに注目することも大切です。多くの数を切り上げていれば、概算は実際より大きめになりやすいです。多くの数を切り下げていれば、実際より小さめになりやすいです。
四捨五入と上位桁での見積もりを使い分けるとき
最も手早く一般的な概算をしたいなら、四捨五入を使います。買い物の合計、ざっとした確認、暗算では、まず最初の選択として最適なことが多いです。
位取りが重要で、答えのおおよその大きさを早い段階でつかみたいなら、上位桁での見積もりを使います。特に、複数桁の正の数をいくつも足すときに役立ちます。
数どうしがほぼ打ち消し合う場合や、正の数と負の数が混ざる場合は、より慎重に概算しましょう。そのような場合、大まかな上位桁での見積もりは誤解を招くことがあります。
概算が妥当かどうかをすばやく確かめる方法
概算したあとで、結果の大きさが適切かを考えます。たとえば 、、 はどれも数百なので、合計が 近くになるのは自然です。 や に近い結果なら、その時点ですぐに不適切だとわかります。
似た問題をやってみよう
メニューやレシートから3つの価格を選び、2通りの方法で合計を概算してみましょう。まず四捨五入で、次に少し調整を加えた上位桁での見積もりで行います。この2つを比べることは、数の感覚を育てる最も速い方法の1つです。