Εκτίμηση στα Μαθηματικά: Στρογγυλοποίηση και Εκτίμηση από τα Αριστερά

Η εκτίμηση στα μαθηματικά σημαίνει ότι βρίσκεις μια απάντηση αρκετά κοντινή ώστε να είναι χρήσιμη, χωρίς να υπολογίσεις πρώτα την ακριβή τιμή. Οι δύο μέθοδοι που συναντούν πιο συχνά οι μαθητές είναι η στρογγυλοποίηση και η εκτίμηση από τα αριστερά. Η στρογγυλοποίηση αντικαθιστά τους αριθμούς με κοντινούς και εύκολους αριθμούς. Η εκτίμηση από τα αριστερά ξεκινά από τις αρχικές θέσεις αξίας και μετά προσθέτει μια μικρή προσαρμογή αν χρειάζεται.

Ο στόχος δεν είναι η τέλεια ακρίβεια. Ο στόχος είναι ένα αποτέλεσμα γρήγορο, λογικό και αρκετά κοντινό για την απόφαση που χρειάζεται να πάρεις.

Τι Σημαίνουν Η Στρογγυλοποίηση Και Η Εκτίμηση Από Τα Αριστερά

Η στρογγυλοποίηση είναι η πιο απλή μέθοδος για τα περισσότερα προβλήματα. Αν στρογγυλοποιήσεις το $47$ σε $50$ ή το $198$ σε $200$, οι πράξεις γίνονται αμέσως πιο εύκολες.

Η εκτίμηση από τα αριστερά κρατά πρώτα στο προσκήνιο τις μεγαλύτερες θέσεις αξίας. Για παράδειγμα, στο $462$, το αριστερό μέρος είναι το $400$. Αυτή η μέθοδος είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν προσθέτεις νοερά αρκετούς θετικούς αριθμούς, επειδή σου δίνει το μέγεθος του συνολικού αθροίσματος πριν ασχοληθείς με τα μικρότερα μέρη.

Η εκτίμηση από τα αριστερά είναι συνήθως καλύτερη με μια προσαρμογή. Αν σταματήσεις μόνο στα αρχικά ψηφία, η εκτίμηση μπορεί να είναι πολύ μικρή ή πολύ χονδρική.

Παράδειγμα Εκτίμησης: Στρογγυλοποίηση Vs. Εκτίμηση Από Τα Αριστερά

Ας υποθέσουμε ότι θέλεις μια γρήγορη εκτίμηση του

$$462 + 331 + 198$$

Με στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίησε κάθε αριθμό στην πλησιέστερη εκατοντάδα:

$$462 \approx 500,\quad 331 \approx 300,\quad 198 \approx 200$$

Άρα το εκτιμώμενο άθροισμα είναι

$$500 + 300 + 200 = 1000$$

Με εκτίμηση από τα αριστερά

Χρησιμοποίησε πρώτα τις εκατοντάδες:

$$462 + 331 + 198 \approx 400 + 300 + 100 = 800$$

Αυτή είναι η εκτίμηση από τα αριστερά πριν από την προσαρμογή. Τώρα κοίτα τα υπόλοιπα μέρη:

$$62 + 31 + 98 = 191$$

Εφόσον το $191$ είναι κοντά στο $200$, μια καλύτερη εκτίμηση από τα αριστερά είναι

$$800 + 200 = 1000$$

Το ακριβές άθροισμα είναι

$$462 + 331 + 198 = 991$$

Άρα και οι δύο μέθοδοι δίνουν μια χρήσιμη εκτίμηση του $1000$. Σε αυτή την περίπτωση, η στρογγυλοποίηση είναι πιο γρήγορη σε ένα βήμα, ενώ η εκτίμηση από τα αριστερά κάνει πιο ορατή τη δομή της αξίας θέσης.

Γιατί Έχει Σημασία Η Θέση Αξίας Που Επιλέγεις

Η εκτίμηση λειτουργεί επειδή οι κοντινοί αριθμοί είναι συχνά πιο εύκολοι στους υπολογισμούς από τους αρχικούς. Αν αυτοί οι κοντινοί αριθμοί επιλεγούν προσεκτικά, οι μικρές αλλαγές δεν μετακινούν πολύ το αποτέλεσμα.

Η θέση αξίας που επιλέγεις έχει σημασία. Η στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη δεκάδα δίνει συνήθως πιο κοντινή εκτίμηση από τη στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη εκατοντάδα, αλλά απαιτεί και λίγο περισσότερη προσπάθεια.

Συνηθισμένα Λάθη Στην Εκτίμηση

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να αντιμετωπίζεις την εκτίμηση σαν ακριβή απάντηση. Η εκτίμηση είναι ένα γρήγορο μοντέλο της απάντησης, όχι η τελική τιμή.

Ένα άλλο λάθος είναι να χρησιμοποιείς εκτίμηση από τα αριστερά χωρίς προσαρμογή και να θεωρείς ότι τελείωσες. Για το $462 + 331 + 198$, αν σταματήσεις στο $800$, χάνεις υπερβολικά πολύ.

Ένα τρίτο λάθος είναι να επιλέγεις μια θέση αξίας που είναι υπερβολικά χονδρική για την περίπτωση. Αν χρειάζεσαι ένα κοντινό συνολικό ποσό για προϋπολογισμό, η στρογγυλοποίηση όλων στην πλησιέστερη χιλιάδα μπορεί να είναι υπερβολικά πρόχειρη για να βοηθήσει.

Βοηθά επίσης να προσέχεις την κατεύθυνση της στρογγυλοποίησης. Αν οι περισσότεροι αριθμοί στρογγυλοποιήθηκαν προς τα πάνω, η εκτίμησή σου είναι πιθανότατα υπερεκτίμηση. Αν οι περισσότεροι στρογγυλοποιήθηκαν προς τα κάτω, είναι πιθανότατα υποεκτίμηση.

Πότε Να Χρησιμοποιείς Στρογγυλοποίηση Ή Εκτίμηση Από Τα Αριστερά

Χρησιμοποίησε τη στρογγυλοποίηση όταν θέλεις την πιο γρήγορη γενική εκτίμηση. Είναι συχνά η καλύτερη πρώτη επιλογή για σύνολα αγορών, γρήγορους ελέγχους και νοερούς υπολογισμούς.

Χρησιμοποίησε την εκτίμηση από τα αριστερά όταν η αξία θέσης είναι σημαντική και θέλεις να δεις νωρίς το μέγεθος της απάντησης. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν προσθέτεις αρκετούς θετικούς αριθμούς με πολλά ψηφία.

Αν οι αριθμοί σχεδόν αλληλοαναιρούνται ή περιλαμβάνουν θετικές και αρνητικές τιμές, κάνε την εκτίμηση πιο προσεκτικά. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μια πρόχειρη εκτίμηση από τα αριστερά μπορεί να είναι παραπλανητική.

Ένας Γρήγορος Έλεγχος Για Το Αν Η Εκτίμησή Σου Βγάζει Νόημα

Αφού κάνεις την εκτίμηση, αναρωτήσου αν το αποτέλεσμα έχει το σωστό μέγεθος. Για παράδειγμα, αφού το $462$, το $331$ και το $198$ είναι το καθένα μερικές εκατοντάδες, ένα σύνολο κοντά στο $1000$ βγάζει νόημα. Ένα αποτέλεσμα κοντά στο $100$ ή στο $10{,}000$ θα αποτύγχανε αμέσως σε αυτόν τον έλεγχο.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Πάρε τρεις τιμές από ένα μενού ή μια απόδειξη και εκτίμησε το σύνολο με δύο τρόπους: πρώτα με στρογγυλοποίηση και μετά με εκτίμηση από τα αριστερά με μια μικρή προσαρμογή. Η σύγκριση των δύο είναι ένας από τους πιο γρήγορους τρόπους να αναπτύξεις αίσθηση των αριθμών.