Rumus Turunan (Diferensial)

Rumus turunan adalah daftar aturan untuk mencari turunan fungsi dengan cepat tanpa kembali ke definisi limit setiap saat. Untuk kebanyakan soal sekolah, langkah kuncinya sederhana: kenali bentuk fungsi, lalu pilih aturan yang sesuai.

Apa Itu Rumus Turunan?

Turunan $f'(x)$ menyatakan laju perubahan sesaat suatu fungsi terhadap $x$. Pada grafik, nilai ini terkait dengan kemiringan garis singgung di satu titik.

Istilah "diferensial" sering muncul bersama turunan, tetapi keduanya tidak selalu dipakai dengan arti yang sama. Dalam konteks pengantar kalkulus, saat siswa mencari "rumus turunan", yang biasanya dimaksud adalah aturan untuk menghitung $f'(x)$.

Rumus Turunan Dasar Yang Paling Sering Dipakai

Untuk fungsi dasar, beberapa rumus ini paling sering muncul:

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$ $$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$ $$\frac{d}{dx}(cf(x)) = c f'(x)$$ $$\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$$

Di sini $c$ adalah konstanta. Aturan pangkat dipakai langsung untuk bentuk $x^n$ yang memang terdefinisi pada domainnya.

Aturan Turunan Untuk Fungsi Gabungan

Saat fungsi tidak lagi sederhana, Anda perlu menggabungkan beberapa aturan.

Untuk hasil kali dua fungsi:

$$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

Untuk hasil bagi:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Rumus hasil bagi hanya berlaku saat $v(x) \ne 0$.

Untuk fungsi komposisi, gunakan aturan rantai:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Ini adalah aturan yang paling sering terlewat. Banyak siswa sudah menurunkan fungsi luar, tetapi lupa mengalikan turunan fungsi dalam.

Turunan Fungsi Dasar Lain Yang Sering Muncul

Selain aturan di atas, beberapa turunan dasar ini juga sering dipakai:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$ $$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$$

Rumus $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ dipakai pada domain $x > 0$ jika Anda bekerja di bilangan real.

Contoh Rumus Turunan Dengan Aturan Rantai

Cari turunan dari

$$f(x) = (2x^3 - 1)^4$$

Ini bukan aturan pangkat biasa, karena yang dipangkatkan bukan hanya $x$, melainkan fungsi lain. Jadi kita pakai aturan rantai.

Ambil fungsi luar $u^4$ dan fungsi dalam $u = 2x^3 - 1$.

Turunan fungsi luar:

$$\frac{d}{du}(u^4) = 4u^3$$

Turunan fungsi dalam:

$$\frac{d}{dx}(2x^3 - 1) = 6x^2$$

Kalikan keduanya:

$$f'(x) = 4(2x^3 - 1)^3 \cdot 6x^2$$

Jadi hasil akhirnya:

$$f'(x) = 24x^2(2x^3 - 1)^3$$

Contoh ini menunjukkan pola yang sangat umum: kalau ada "fungsi di dalam fungsi", aturan pangkat saja tidak cukup.

Kesalahan Umum Saat Memakai Rumus Turunan

1. Menganggap $(2x^3 - 1)^4$ sama seperti $x^4$, lalu berhenti di $4(2x^3 - 1)^3$ tanpa mengalikan turunan bagian dalam.
2. Lupa tanda minus pada turunan fungsi seperti $\cos x$.
3. Memakai aturan hasil bagi tanpa memeriksa apakah penyebut bisa bernilai $0$.
4. Menghilangkan tanda kurung pada hasil akhir sehingga bentuk aljabarnya berubah.

Kapan Rumus Turunan Dipakai Dalam Soal

Rumus turunan dipakai hampir di seluruh bab kalkulus dasar. Penggunaan yang paling umum adalah mencari gradien garis singgung, menentukan kecepatan sesaat dalam fisika, menganalisis fungsi naik atau turun, dan menyelesaikan soal maksimum-minimum.

Kalau Anda lanjut ke materi yang lebih jauh, turunan juga dipakai dalam optimasi, pendekatan lokal, dan analisis bentuk grafik.

Cara Memilih Rumus Turunan Dengan Cepat

Sebelum menghitung, tanyakan dua hal:

1. Bentuk utamanya apa: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi?
2. Apakah ada fungsi di dalam fungsi?

Kalau ada fungsi di dalam fungsi, curigai aturan rantai. Kalau ada dua fungsi yang saling dikalikan, curigai aturan hasil kali. Kebiasaan kecil ini biasanya lebih membantu daripada menghafal daftar rumus yang panjang.

Coba Soal Rumus Turunan Anda Sendiri

Coba turunkan tiga fungsi ini tanpa melihat catatan:

$$x^5 - 3x^2 + 4$$ $$(x^2 + 1)(x - 4)$$ $$(3x - 2)^5$$

Mulailah dengan menyebut aturan yang dipakai sebelum menghitung. Jika Anda ingin melanjutkan latihan, coba selesaikan fungsi serupa dengan pola hasil kali atau aturan rantai yang berbeda.