Trigonometri — Sin Cos Tan dan Rumus Lengkap

Trigonometri membantu Anda menghubungkan sudut dengan panjang sisi. Untuk soal dasar pada segitiga siku-siku, inti yang paling penting adalah arti $\\sin$, $\\cos$, dan $\\tan$ untuk sudut lancip $\\theta$:

$$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}.$$

Kalau tiga rasio ini sudah jelas, banyak soal trigonometri dasar langsung terasa lebih mudah. Rumus lain biasanya hanya turunan atau perluasan dari hubungan dasar ini.

Arti Sin, Cos, dan Tan pada Segitiga Siku-Siku

Bayangkan segitiga siku-siku dengan satu sudut $\theta$. Nama sisi selalu ditentukan relatif terhadap sudut itu, jadi sudut acuan harus ditandai lebih dulu.

Sisi miring adalah sisi terpanjang, yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Sisi depan adalah sisi yang tepat berhadapan dengan $\theta$. Sisi samping adalah sisi yang menempel pada $\theta$ selain sisi miring.

Artinya, sinus membandingkan sisi depan dengan sisi miring. Cosinus membandingkan sisi samping dengan sisi miring. Tangen membandingkan sisi depan dengan sisi samping.

Untuk sudut di luar segitiga siku-siku, misalnya sudut lebih dari $90^\circ$ atau sudut negatif, trigonometri biasanya diperluas dengan lingkaran satuan. Untuk tahap awal, model segitiga siku-siku sudah cukup.

Rumus Trigonometri Dasar yang Paling Sering Dipakai

Jika tujuan Anda adalah memahami konsep dan mengerjakan soal sekolah, empat hubungan ini paling penting untuk diingat lebih dulu.

Rasio Dasar

$$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}, \qquad \cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}, \qquad \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}.$$

Hubungan Antar Rasio

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \qquad \text{dengan syarat } \cos \theta \ne 0$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \qquad \text{dengan syarat } \cos \theta \ne 0$$

Sudut Pelengkap

$$\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$$

Rumus jumlah sudut, selisih sudut, dan sudut ganda memang ada, tetapi biasanya baru dipakai setelah dasar di atas benar-benar paham. Untuk pembaca yang baru mulai, menguasai rasio dasar dan identitas sederhana jauh lebih berguna daripada menghafal daftar panjang.

Nilai Sudut Istimewa yang Sering Keluar

Untuk banyak soal sekolah, tabel ini lebih berguna daripada menghafal banyak rumus tambahan.

Sudut	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$30^\circ$	$\frac\{1\}\{2\}$	\frac\{\sqrt\{3\}}\{2\}	\frac\{1\}\{\sqrt\{3\}}
$45^\circ$	\frac\{\sqrt\{2\}}\{2\}	\frac\{\sqrt\{2\}}\{2\}	$1$
$60^\circ$	\frac\{\sqrt\{3\}}\{2\}	$\frac\{1\}\{2\}$	$\sqrt\{3\}$
$90^\circ$	$1$	$0$	tidak terdefinisi

Baris $90^\circ$ penting karena menunjukkan bahwa $\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta$ tidak bisa dipakai saat $\cos \theta = 0$.

Contoh Trigonometri: Tinggi Tangga pada Dinding

Sebuah tangga panjangnya $8$ meter bersandar pada dinding dan membentuk sudut $60^\circ$ dengan lantai. Berapa tinggi titik ujung tangga pada dinding?

Kita ingin mencari tinggi pada dinding. Terhadap sudut $60^\circ$, tinggi itu adalah sisi depan, sedangkan panjang tangga $8$ meter adalah sisi miring. Jadi rasio yang tepat adalah sinus:

$$\sin 60^\circ = \frac{h}{8}$$

Karena $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, maka

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{8}$$

Kalikan kedua sisi dengan $8$:

$$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Jadi tinggi yang dicapai tangga adalah

$$4\sqrt{3} \text{ meter} \approx 6.93 \text{ meter}$$

Cara berpikirnya lebih penting daripada hitungannya: tentukan dulu sisi yang diketahui, sisi yang dicari, lalu pilih rasio yang menghubungkan keduanya. Jika yang dicari adalah sisi samping, cosinus biasanya lebih cocok.

Kapan Memakai Aturan Sinus dan Cosinus

Kalau segitiganya tidak siku-siku, tiga rasio dasar di atas tidak selalu cukup. Dalam kondisi itu, dua rumus yang sering dipakai adalah aturan sinus dan aturan cosinus.

Untuk segitiga dengan sisi $a, b, c$ yang berhadapan dengan sudut $A, B, C$:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

dan

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

Aturan sinus berguna saat Anda tahu pasangan sisi dan sudut yang saling berhadapan. Aturan cosinus berguna saat Anda tahu dua sisi dan sudut apit, atau tiga sisi lalu ingin mencari satu sudut.

Kesalahan Umum Saat Belajar Trigonometri

1. Menukar sisi depan dan sisi samping karena sudut acuannya berubah.
2. Menggunakan $\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta$ tanpa memeriksa bahwa $\cos \theta \ne 0$.
3. Menghafal nilai sudut istimewa tanpa tahu segitiganya, sehingga mudah salah saat dipakai dalam soal.
4. Mencampur derajat dan radian dalam kalkulator atau rumus.
5. Memakai rumus segitiga siku-siku untuk segitiga sembarang tanpa syarat yang tepat.

Kapan Trigonometri Dipakai

Trigonometri dipakai saat Anda perlu menghubungkan sudut dengan panjang atau arah. Di sekolah, ini muncul pada tinggi bangunan, panjang bayangan, kemiringan, dan geometri analitik. Dalam fisika dan teknik, trigonometri juga dipakai untuk gelombang, vektor, rotasi, dan gerak periodik.

Bahkan tanpa masuk ke aplikasi teknik, manfaat utamanya tetap sama: trigonometri membantu mengubah informasi sudut menjadi informasi panjang, atau sebaliknya.

Coba Soal Serupa

Coba ubah contoh tangga tadi: jika panjang tangga tetap $8$ meter tetapi sudutnya menjadi $45^\circ$, berapa tinggi yang dicapai? Setelah itu, cari juga jarak kaki tangga ke dinding dengan cosinus. Satu variasi kecil seperti ini biasanya cukup untuk membuat sin dan cos benar-benar terasa berbeda.