Teorema Pythagoras: Rumus, Bukti Singkat, dan Contoh Soal

Teorema Pythagoras dipakai untuk mencari panjang sisi pada segitiga siku-siku. Jika dua sisi yang saling tegak lurus panjangnya $a$ dan $b$, dan sisi miringnya $c$, maka rumusnya adalah

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Artinya, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Syaratnya tidak boleh dilewatkan: rumus ini hanya berlaku jika segitiganya punya sudut $90^\circ$.

Rumus teorema Pythagoras dan arti tiap sisi

Dalam segitiga siku-siku:

• $a$ dan $b$ adalah dua sisi yang membentuk sudut 90^\\circ.
• $c$ adalah sisi miring, yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut 90^\\circ.

Karena $c$ adalah sisi miring, sisi ini selalu paling panjang. Jika hasil hitung membuat $c$ lebih pendek dari $a$ atau $b$, biasanya ada salah pilih sisi atau salah operasi.

Jika yang dicari sisi miring, bentuknya tetap:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Jika yang dicari salah satu sisi siku-siku, misalnya $a$, maka:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Langkah ini valid selama $c$ benar-benar sisi miring.

Kenapa muncul kuadrat?

Cara paling mudah memahami teorema ini adalah lewat luas persegi. Bayangkan dibuat tiga persegi yang masing-masing menempel pada tiga sisi segitiga siku-siku.

Luas persegi pada sisi $a$ adalah $a^2$, luas persegi pada sisi $b$ adalah $b^2$, dan luas persegi pada sisi miring adalah $c^2$. Jadi, simbol kuadrat di rumus itu berasal dari luas persegi, bukan dari aturan yang muncul tiba-tiba.

Pada segitiga siku-siku, jumlah luas dua persegi kecil sama dengan luas persegi besar pada sisi miring. Itu inti ide Pythagoras.

Bukti singkat dengan empat segitiga

Ambil persegi besar dengan sisi $a+b$. Di dalamnya, susun empat segitiga siku-siku yang kongruen sehingga tersisa sebuah persegi kecil di tengah dengan sisi $c$.

Luas persegi besar bisa dihitung dengan dua cara. Cara pertama:

$$(a+b)^2$$

Cara kedua adalah jumlah luas empat segitiga dan satu persegi di tengah:

$$4\left(\frac{1}{2}ab\right) + c^2 = 2ab + c^2$$

Karena keduanya menghitung bangun yang sama, maka:

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Uraikan ruas kiri:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$

Kurangi $2ab$ dari kedua ruas, diperoleh:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Bukti ini cukup untuk menunjukkan bahwa rumus Pythagoras datang dari dua cara menghitung luas bangun yang sama.

Contoh soal: mencari sisi miring

Sebuah segitiga siku-siku memiliki dua sisi siku-siku dengan panjang $6$ cm dan $8$ cm. Berapa panjang sisi miringnya?

Karena yang dicari sisi miring, gunakan rumus dasar:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Substitusi nilai:

$$c^2 = 6^2 + 8^2$$ $$c^2 = 36 + 64 = 100$$

Maka:

$$c = \sqrt{100} = 10$$

Jadi panjang sisi miringnya adalah $10$ cm.

Contoh ini juga menunjukkan pola triple Pythagoras $6$, $8$, dan $10$. Pola seperti ini sering muncul di soal, tetapi memahami posisi sisi jauh lebih penting daripada menghafal pola.

Kesalahan umum saat memakai rumus Pythagoras

Kesalahan paling umum adalah memakai rumus ini pada segitiga yang bukan siku-siku. Kalau tidak ada sudut 90^\\circ, teorema Pythagoras tidak bisa langsung dipakai.

Kesalahan lain adalah salah menentukan sisi miring. Banyak siswa menaruh sisi yang diketahui paling akhir sebagai $c$, padahal $c$ harus selalu sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Ada juga yang menulis $a^2 + b^2 = c$ alih-alih $c^2$. Ini mengubah arti rumus sepenuhnya. Kuadrat harus tetap ada sampai tahap terakhir ketika Anda mengambil akar.

Kapan teorema Pythagoras dipakai?

Teorema Pythagoras dipakai saat mencari panjang sisi pada segitiga siku-siku, diagonal persegi panjang, jarak dua titik pada koordinat, dan banyak soal geometri dasar lainnya.

Di fisika dan teknik dasar, ide yang sama juga muncul saat dua komponen saling tegak lurus digabungkan. Tetapi itu tetap bergantung pada kondisi bahwa komponennya memang membentuk sudut siku-siku.

Coba soal serupa

Coba kerjakan ini sendiri:

$$c^2 = 9^2 + 12^2$$

Hitung nilai $c$, lalu cek apakah hasilnya masuk akal sebagai sisi terpanjang. Setelah itu, coba balik jenis soal: misalnya diketahui $c = 13$ dan salah satu sisi siku-siku $5$, lalu cari sisi lainnya.

Jika Anda ingin melanjutkan, coba selesaikan versi Anda sendiri dengan angka lain sampai menentukan sisi miring dan sisi siku-siku terasa otomatis.