Interval Kepercayaan — Rumus, Cara Menghitung & Contoh

Interval kepercayaan adalah rentang nilai yang masuk akal untuk suatu parameter populasi, berdasarkan data sampel. Dalam banyak soal statistika pengantar, interval ini dibentuk sebagai

$$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$$

Margin of error bergantung pada seberapa besar ketidakpastian dalam sampel dan seberapa tinggi tingkat kepercayaan yang Anda inginkan. Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan interval yang lebih lebar. Data yang lebih presisi menghasilkan interval yang lebih sempit.

Arti interval kepercayaan dalam bahasa sederhana

Jika Anda melihat interval kepercayaan $95\%$, interpretasi yang paling aman adalah tentang metodenya, bukan satu interval akhir tertentu. Jika proses pengambilan sampel yang sama diulang berkali-kali dan interval dibangun ulang dengan cara yang sama setiap kali, sekitar $95\%$ dari interval tersebut akan memuat parameter yang sebenarnya.

Jadi, interval kepercayaan adalah cara untuk menunjukkan ketidakpastian di sekitar suatu estimasi. Ini memberi rentang nilai yang masuk akal, bukan jaminan.

Rumus interval kepercayaan

Struktur umumnya adalah

$$\text{estimate} \pm \text{critical value} \times \text{standard error}$$

Untuk mean populasi, ada dua versi yang umum:

$$\bar{x} \pm z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Gunakan bentuk ini ketika simpangan baku populasi $\sigma$ diketahui, atau ketika pendekatan normal dengan nilai kritis $z$ dapat dibenarkan.

$$\bar{x} \pm t^* \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Gunakan bentuk ini ketika $\sigma$ tidak diketahui dan Anda mengestimasi penyebaran dengan simpangan baku sampel $s$. Untuk sampel yang lebih kecil, bentuk ini biasanya dipasangkan dengan syarat bahwa populasi berdistribusi mendekati normal.

Pola yang sama muncul dalam banyak situasi, tetapi standard error berubah untuk mean, proporsi, dan parameter lainnya.

Apa yang mengubah lebar interval kepercayaan

Tiga faktor paling berpengaruh:

1. Tingkat kepercayaan yang lebih besar membuat interval lebih lebar.
2. Ukuran sampel yang lebih besar biasanya membuat interval lebih sempit.
3. Variabilitas data yang lebih besar membuat interval lebih lebar.

Itulah tradeoff utamanya: kepercayaan yang lebih tinggi biasanya mengorbankan presisi.

Contoh interval kepercayaan 95%

Misalkan suatu sampel berisi $64$ observasi memiliki mean $\bar{x} = 50$, dan simpangan baku populasi diketahui $\sigma = 8$. Bentuk interval kepercayaan $95\%$ untuk mean populasi menggunakan interval $z$.

Mulai dari

$$\bar{x} \pm z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Untuk tingkat kepercayaan $95\%$, gunakan $z^* \approx 1.96$.

Sekarang hitung standard error:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{64}} = \frac{8}{8} = 1$$

Jadi margin of error adalah

$$1.96 \times 1 = 1.96$$

Bentuk intervalnya:

$$50 \pm 1.96$$

yang menghasilkan

$$(48.04,\ 51.96)$$

Interpretasi praktisnya adalah: jika syarat model masuk akal dan data berasal dari proses pengambilan sampel ini, maka nilai antara $48.04$ dan $51.96$ masuk akal untuk mean populasi.

Kesalahan umum pada interval kepercayaan

Salah satu kesalahan umum adalah mengatakan bahwa ada probabilitas $95\%$ bahwa parameter sebenarnya berada dalam interval spesifik ini. Dalam statistika frequentist standar, parameternya tetap, dan prosedur pembentukan interval-lah yang memiliki tingkat keberhasilan jangka panjang.

Kesalahan lain adalah memakai rumus yang salah tanpa memeriksa syaratnya. Interval $z$, interval $t$, dan interval proporsi tidak menggunakan standard error yang sama.

Siswa juga sering tertukar antara interval kepercayaan untuk suatu parameter dan sebaran data mentah. Interval kepercayaan membahas ketidakpastian dalam estimasi, bukan tentang di mana sebagian besar observasi individual berada.

Kapan interval kepercayaan digunakan

Interval kepercayaan muncul dalam polling, eksperimen, pengendalian mutu, kedokteran, ekonomi, dan pelaporan data sehari-hari. Interval ini berguna setiap kali sampel digunakan untuk mengatakan sesuatu tentang populasi yang lebih besar.

Dalam praktiknya, interval paling penting ketika dibandingkan dengan suatu target atau dengan estimasi lain. Interval yang sempit mendukung kesimpulan yang lebih presisi daripada interval yang lebar.

Coba soal serupa

Coba versi Anda sendiri dengan $\bar{x} = 72$, $\sigma = 10$, dan $n = 100$ untuk interval kepercayaan $95\%$. Lalu ubah hanya ukuran sampelnya dan perhatikan apa yang terjadi pada margin of error. Itu adalah salah satu cara tercepat untuk membangun intuisi mengapa sampel yang lebih besar biasanya menghasilkan interval yang lebih sempit.