Mécanique lagrangienne — équation d’Euler-Lagrange et exemples

La mécanique lagrangienne est une méthode pour obtenir les équations du mouvement à partir d’une grandeur appelée lagrangien. Dans beaucoup de problèmes de mécanique d’introduction avec des forces conservatives, on choisit une coordonnée $q_i$, on écrit $L = T - V$, puis on utilise l’équation d’Euler-Lagrange pour déterminer le mouvement.

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$

Si vous cherchez à quoi sert concrètement la mécanique lagrangienne, voici la réponse courte : elle transforme des expressions d’énergie en équations du mouvement identiques à celles qu’on peut obtenir avec les lois de Newton, souvent avec une algèbre moins lourde.

Ce que signifie la mécanique lagrangienne

Les lois de Newton partent généralement des forces. La mécanique lagrangienne part généralement des coordonnées et des énergies.

L’idée essentielle est de choisir des coordonnées adaptées au mouvement. Un pendule, par exemple, est plus simple à décrire avec un seul angle $\theta$ qu’avec des coordonnées séparées $x$ et $y$ plus une contrainte imposant que la longueur du fil reste fixe.

Ces coordonnées adaptées sont appelées coordonnées généralisées. Elles n’ont pas besoin d’être des positions cartésiennes ordinaires. Ce sont simplement des coordonnées qui décrivent efficacement le système.

Quand $L = T - V$ fonctionne

Dans beaucoup de premiers cours, le lagrangien s’écrit

$$L = T - V$$

où $T$ est l’énergie cinétique et $V$ l’énergie potentielle.

Cette forme est particulièrement utile pour les systèmes conservatives, où les forces peuvent être décrites par une énergie potentielle. Ce n’est pas une loi universelle pour tous les problèmes de mécanique. Si les frottements, des forces extérieures imposées ou des contraintes plus générales interviennent, il peut falloir ajouter des termes ou utiliser un cadre plus large.

Comment fonctionne l’équation d’Euler-Lagrange

Pour une coordonnée $q$, l’équation d’Euler-Lagrange est

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

Ici, $\dot{q}$ désigne la dérivée temporelle de $q$. L’équation indique comment la coordonnée doit évoluer pour que le mouvement soit compatible avec le lagrangien choisi.

En pratique, la méthode est courte :

1. Choisir des coordonnées adaptées aux contraintes.
2. Écrire $T$ et, si c’est pertinent, $V$.
3. Former $L = T - V$ si le système est conservatif.
4. Appliquer l’équation d’Euler-Lagrange une fois pour chaque coordonnée.

Exemple détaillé : pendule simple

Considérons un pendule de masse $m$ et de longueur de fil $l$. On note $\theta$ l’angle mesuré à partir de la verticale descendante.

Cet exemple montre pourquoi les coordonnées généralisées sont utiles. La longueur du fil reste fixe, donc une seule coordonnée $\theta$ suffit déjà à décrire tout le mouvement.

Étape 1 : écrire l’énergie cinétique

La masse se déplace sur un cercle de rayon $l$, donc sa vitesse vaut $v = l\dot{\theta}$. On obtient alors

$$T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$$

Étape 2 : écrire l’énergie potentielle

Si l’on choisit le point le plus bas comme niveau zéro de l’énergie potentielle, alors

$$V = mgl(1 - \cos\theta)$$

Étape 3 : former le lagrangien

$$L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)$$

Étape 4 : appliquer Euler-Lagrange

On dérive par rapport à $\dot{\theta}$ et à $\theta$ :

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) = ml^2\ddot{\theta}$$ $$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta$$

On remplace dans l’équation d’Euler-Lagrange :

$$ml^2\ddot{\theta} - (-mgl\sin\theta) = 0$$

L’équation du mouvement est donc

$$ml^2\ddot{\theta} + mgl\sin\theta = 0$$

ou, après division par $ml$,

$$l\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0$$

puis

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$$

C’est l’équation exacte d’un pendule simple idéal. Si l’angle est assez petit pour que $\sin\theta \approx \theta$, elle devient

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$$

ce qui correspond à l’approximation du mouvement harmonique simple. La condition est importante : cette dernière étape n’est valable que pour les petits angles.

Erreurs fréquentes en mécanique lagrangienne

Supposer que $L = T - V$ fonctionne pour tous les problèmes

Cette forme est standard pour beaucoup de systèmes conservatives, pas pour tous les systèmes. Si les frottements ou d’autres effets non conservatives interviennent, il peut être nécessaire d’introduire des forces généralisées ou un autre modèle.

Choisir trop de coordonnées

Si une contrainte relie déjà les variables entre elles, utiliser des coordonnées supplémentaires complique le problème. Pour un pendule, un angle est généralement préférable à des coordonnées cartésiennes séparées.

Confondre dérivées ordinaires et dérivées partielles

Dans l’équation d’Euler-Lagrange, $\partial L / \partial q$ et $\partial L / \partial \dot{q}$ sont des dérivées partielles. Ensuite, on prend la dérivée temporelle de $\partial L / \partial \dot{q}$.

Perdre la référence de l’énergie potentielle

On peut choisir différents niveaux zéro pour $V$, mais il faut rester cohérent. Ajouter une constante à $V$ ne change pas l’équation du mouvement.

Où la mécanique lagrangienne est utile

La mécanique lagrangienne est particulièrement utile lorsque les contraintes et le choix des coordonnées font l’essentiel du travail. Parmi les exemples courants, on trouve les pendules, les systèmes roulants, les oscillations, le mouvement orbital et les problèmes écrits en coordonnées polaires ou sphériques.

Elle est aussi importante au-delà de la mécanique d’introduction. Le même cadre apparaît en mécanique classique plus avancée et dans des domaines ultérieurs comme la théorie des champs, même si les détails deviennent plus sophistiqués.

Quand les lois de Newton peuvent être plus rapides

Si le problème se réduit à un simple bilan des forces en une dimension, la deuxième loi de Newton peut être plus directe. La mécanique lagrangienne devient plus intéressante lorsque les coordonnées sont peu pratiques ou que les contraintes font l’essentiel du travail.

Essayez un problème similaire

Appliquez la même méthode à un système masse-ressort horizontal. Écrivez $T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$ et $V = \frac{1}{2}kx^2$, puis appliquez Euler-Lagrange et vérifiez que vous retrouvez l’équation de l’oscillateur. Si vous voulez aller plus loin, essayez d’abord votre propre solution, puis comparez-la avec un exemple résolu dans GPAI Solver.