Mekanika Lagrangian — Persamaan Euler-Lagrange & Contoh

Mekanika Lagrangian adalah metode untuk menurunkan persamaan gerak dari suatu besaran yang disebut Lagrangian. Dalam banyak soal mekanika tingkat pengantar dengan gaya konservatif, Anda memilih koordinat $q_i$, menuliskan $L = T - V$, lalu menggunakan persamaan Euler-Lagrange untuk mendapatkan geraknya.

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$

Jika Anda mencari apa sebenarnya yang dilakukan mekanika Lagrangian, itulah jawaban singkatnya: metode ini mengubah ekspresi energi menjadi persamaan gerak yang sama seperti yang bisa diperoleh dari hukum Newton, sering kali dengan aljabar yang tidak serumit itu.

Apa Arti Mekanika Lagrangian

Hukum Newton biasanya dimulai dari gaya. Mekanika Lagrangian biasanya dimulai dari koordinat dan energi.

Gagasan utamanya adalah memilih koordinat yang sesuai dengan gerak. Pendulum, misalnya, lebih mudah dijelaskan dengan satu sudut $\theta$ daripada dengan koordinat $x$ dan $y$ terpisah ditambah kendala bahwa panjang tali tetap.

Koordinat yang disesuaikan seperti itu disebut koordinat umum. Koordinat ini tidak harus berupa posisi Kartesius biasa. Intinya, koordinat tersebut hanya perlu mendeskripsikan sistem secara efisien.

Kapan $L = T - V$ Berlaku

Dalam banyak mata kuliah awal, Lagrangian ditulis sebagai

$$L = T - V$$

dengan $T$ adalah energi kinetik dan $V$ adalah energi potensial.

Bentuk ini sangat berguna khususnya untuk sistem konservatif, yaitu ketika gaya dapat dijelaskan oleh energi potensial. Namun, ini bukan hukum universal untuk setiap masalah mekanika. Jika gesekan, gaya pendorong, atau kendala yang lebih umum berperan, mungkin diperlukan suku tambahan atau kerangka yang lebih luas.

Cara Kerja Persamaan Euler-Lagrange

Untuk satu koordinat $q$, persamaan Euler-Lagrange adalah

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

Di sini $\dot{q}$ berarti turunan terhadap waktu dari $q$. Persamaan ini memberi tahu bagaimana koordinat harus berubah agar geraknya konsisten dengan Lagrangian yang dipilih.

Dalam praktiknya, alurnya singkat:

1. Pilih koordinat yang sesuai dengan kendala.
2. Tuliskan $T$ dan, jika sesuai, $V$.
3. Bentuk $L = T - V$ jika sistemnya konservatif.
4. Terapkan persamaan Euler-Lagrange satu kali untuk setiap koordinat.

Contoh Dikerjakan: Pendulum Sederhana

Ambil sebuah pendulum dengan massa bandul $m$ dan panjang tali $l$. Misalkan sudut terhadap arah vertikal ke bawah adalah $\theta$.

Contoh ini menunjukkan mengapa koordinat umum membantu. Panjang tali tetap, jadi satu koordinat $\theta$ saja sudah menangkap seluruh gerak.

Langkah 1: Tuliskan energi kinetik

Bandul bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari $l$, sehingga lajunya adalah $v = l\dot{\theta}$. Maka diperoleh

$$T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$$

Langkah 2: Tuliskan energi potensial

Jika kita memilih titik terendah sebagai nol energi potensial, maka

$$V = mgl(1 - \cos\theta)$$

Langkah 3: Bentuk Lagrangian

$$L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)$$

Langkah 4: Terapkan Euler-Lagrange

Turunkan terhadap $\dot{\theta}$ dan $\theta$:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) = ml^2\ddot{\theta}$$ $$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta$$

Substitusikan ke dalam persamaan Euler-Lagrange:

$$ml^2\ddot{\theta} - (-mgl\sin\theta) = 0$$

Jadi persamaan geraknya adalah

$$ml^2\ddot{\theta} + mgl\sin\theta = 0$$

atau, setelah dibagi dengan $ml$,

$$l\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0$$

dan kemudian

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$$

Itulah persamaan eksak untuk pendulum sederhana ideal. Jika sudutnya cukup kecil sehingga $\sin\theta \approx \theta$, persamaan ini menjadi

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$$

yang merupakan pendekatan gerak harmonik sederhana. Syarat ini penting: langkah terakhir ini hanya berlaku untuk sudut kecil.

Kesalahan Umum dalam Mekanika Lagrangian

Menganggap $L = T - V$ berlaku untuk setiap masalah

Bentuk itu memang standar untuk banyak sistem konservatif, tetapi tidak untuk semua sistem. Jika gesekan atau efek nonkonservatif lain berperan, Anda mungkin memerlukan gaya umum atau model yang berbeda.

Memilih terlalu banyak koordinat

Jika suatu kendala sudah menghubungkan variabel-variabel, memakai koordinat tambahan justru membuat soal lebih sulit. Sudut pendulum biasanya lebih baik daripada koordinat Kartesius terpisah.

Mencampur turunan biasa dan turunan parsial

Dalam persamaan Euler-Lagrange, $\partial L / \partial q$ dan $\partial L / \partial \dot{q}$ adalah turunan parsial. Setelah itu, Anda mengambil turunan waktu dari $\partial L / \partial \dot{q}$.

Kehilangan acuan energi potensial

Anda boleh memilih titik nol yang berbeda untuk $V$, tetapi harus tetap konsisten. Mengubah $V$ dengan menambahkan konstanta tidak mengubah persamaan gerak.

Di Mana Mekanika Lagrangian Berguna

Mekanika Lagrangian sangat berguna ketika kendala dan koordinat melakukan sebagian besar pekerjaan untuk Anda. Contoh umum meliputi pendulum, sistem menggelinding, osilasi, gerak orbit, dan soal yang ditulis dalam koordinat polar atau bola.

Metode ini juga penting di luar mekanika pengantar. Kerangka yang sama muncul dalam mekanika klasik yang lebih lanjut dan dalam topik lanjutan seperti teori medan, meskipun detailnya menjadi lebih canggih.

Kapan Hukum Newton Bisa Lebih Cepat

Jika masalahnya hanya keseimbangan gaya satu dimensi yang sederhana, hukum kedua Newton bisa lebih langsung. Mekanika Lagrangian menjadi lebih menarik ketika koordinatnya rumit atau kendala melakukan sebagian besar pekerjaan.

Coba Soal Serupa

Gunakan alur yang sama untuk sistem massa-pegas horizontal. Tuliskan $T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$ dan $V = \frac{1}{2}kx^2$, lalu terapkan Euler-Lagrange dan periksa bahwa Anda memperoleh kembali persamaan osilator. Jika ingin melangkah lebih jauh, coba kerjakan versi Anda sendiri terlebih dahulu, lalu bandingkan dengan contoh yang sudah diselesaikan di GPAI Solver.