ラグランジュ力学 — オイラー＝ラグランジュ方程式と例題

ラグランジュ力学は、ラグランジアンと呼ばれる量から運動方程式を導く方法です。保存力が働く多くの初歩的な力学の問題では、座標 $q_i$ を選び、$L = T - V$ とおいて、オイラー＝ラグランジュ方程式から運動を求めます。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$

ラグランジュ力学が実際に何をするのかを一言でいえば、これが答えです。エネルギーの式から、ニュートンの法則でも得られるのと同じ運動方程式を、しばしばよりすっきりした計算で導けます。

ラグランジュ力学の意味

ニュートンの法則は通常、力から出発します。ラグランジュ力学は通常、座標とエネルギーから出発します。

重要な考え方は、運動に合った座標を選ぶことです。たとえば振り子は、$x$ 座標と $y$ 座標を別々に使い、さらに糸の長さが一定という拘束を加えるよりも、1つの角度 $\theta$ で表すほうが簡単です。

このような、運動に合わせて選んだ座標を一般化座標と呼びます。一般化座標は、ふつうのデカルト座標である必要はありません。系を効率よく記述できる座標であればよいのです。

$L = T - V$ が使えるとき

多くの初学者向けの授業では、ラグランジアンは次のように書かれます。

$$L = T - V$$

ここで $T$ は運動エネルギー、$V$ は位置エネルギーです。

この形は、力を位置エネルギーで表せる保存系で特に便利です。ただし、これはあらゆる力学問題に通用する普遍的な法則ではありません。摩擦、外力による駆動、より一般的な拘束が重要な場合には、追加の項や、より広い枠組みが必要になることがあります。

オイラー＝ラグランジュ方程式のしくみ

1つの座標 $q$ に対して、オイラー＝ラグランジュ方程式は

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

です。

ここで $\dot{q}$ は $q$ の時間微分を表します。この方程式は、選んだラグランジアンと整合するように座標がどのように時間発展しなければならないかを教えてくれます。

実際の手順は短くまとまります。

1. 拘束条件に合った座標を選ぶ。
2. $T$ と、必要なら $V$ を書く。
3. 系が保存系なら $L = T - V$ を作る。
4. 各座標についてオイラー＝ラグランジュ方程式を適用する。

計算例：単振り子

質点の質量が $m$、糸の長さが $l$ の振り子を考えます。鉛直下向きからの角度を $\theta$ とします。

この例は、一般化座標がなぜ役立つかをよく示しています。糸の長さは一定なので、1つの座標 $\theta$ だけで運動全体を表せます。

ステップ1：運動エネルギーを書く

質点は半径 $l$ の円周上を動くので、速さは $v = l\dot{\theta}$ です。したがって

$$T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$$

となります。

ステップ2：位置エネルギーを書く

最下点を位置エネルギーのゼロとすると、

$$V = mgl(1 - \cos\theta)$$

です。

ステップ3：ラグランジアンを作る

$$L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1 - \cos\theta)$$

ステップ4：オイラー＝ラグランジュ方程式を適用する

$\dot{\theta}$ と $\theta$ で微分すると、

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) = ml^2\ddot{\theta}$$ $$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta$$

となります。

これをオイラー＝ラグランジュ方程式に代入すると、

$$ml^2\ddot{\theta} - (-mgl\sin\theta) = 0$$

したがって運動方程式は

$$ml^2\ddot{\theta} + mgl\sin\theta = 0$$

です。

両辺を $ml$ で割ると、

$$l\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0$$

さらに

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$$

となります。

これは理想的な単振り子の正確な方程式です。角度が十分小さくて $\sin\theta \approx \theta$ と近似できるなら、

$$\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$$

となります。

これは単振動の近似です。この条件は重要で、この最後の式は小角近似が成り立つ場合にだけ有効です。

ラグランジュ力学でよくある間違い

$L = T - V$ がすべての問題で使えると思い込む

この形は多くの保存系では標準的ですが、すべての系に当てはまるわけではありません。摩擦やその他の非保存的な効果が重要なら、一般化力や別のモデルが必要になることがあります。

座標を多く取りすぎる

拘束条件によって変数同士がすでに結びついているなら、余分な座標を使うと問題はかえって難しくなります。振り子では、通常はデカルト座標を別々に使うより角度のほうが適しています。

通常の微分と偏微分を混同する

オイラー＝ラグランジュ方程式では、$\partial L / \partial q$ と $\partial L / \partial \dot{q}$ は偏微分です。そのあとで、$\partial L / \partial \dot{q}$ の時間微分を取ります。

位置エネルギーの基準を見失う

$V$ のゼロ点は別の場所に選んでもかまいませんが、一貫して使う必要があります。$V$ に定数を足しても、運動方程式は変わりません。

ラグランジュ力学が役立つ場面

ラグランジュ力学は、拘束条件や座標の選び方が大きな役割を果たすときに特に有用です。代表例として、振り子、転がり運動、振動、軌道運動、極座標や球座標で書かれる問題があります。

また、これは初等力学を超えて重要です。同じ枠組みは、より高度な古典力学や、その先の場の理論のような分野にも現れます。ただし、細部はより洗練されたものになります。

ニュートンの法則のほうが速いこともある場合

問題が単純な1次元の力のつり合いであれば、ニュートンの第2法則のほうが直接的なことがあります。座標の扱いが面倒だったり、拘束条件が本質的だったりする場合に、ラグランジュ力学の利点が大きくなります。

似た問題に挑戦してみよう

同じ手順を、水平な質点ばね系にも使ってみてください。$T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$ と $V = \frac{1}{2}kx^2$ を書き、オイラー＝ラグランジュ方程式を適用して、振動子の方程式が再現されることを確かめます。次の一歩としては、まず自分で解いてみて、そのあと GPAI Solver の解答例と比べてみるとよいでしょう。