Équations du second degré — Formule quadratique, discriminant et exemples

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$, sous réserve que $a \ne 0$. Pour les résoudre, la règle d'or est simple : commencez par mettre l'équation sous sa forme standard, et si la factorisation n'est pas évidente, utilisez la formule quadratique. Le nombre de solutions réelles peut être déterminé par le signe du discriminant $D = b^2 - 4ac$.

Sur cette page, nous allons passer en revue la signification des équations du second degré, l'utilisation de la formule et du discriminant, ainsi que les erreurs courantes, le tout résumé autour d'un exemple.

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Résoudre une équation du second degré revient à trouver la ou les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Graphiquement, cela correspond à chercher les points d'intersection entre la parabole $y = ax^2 + bx + c$ et l'axe $x$.

Le point crucial ici est que le degré maximal de la variable doit être $2$. Par exemple, $x^2 - 5x + 6 = 0$ est bien une équation du second degré, tandis que $2x + 3 = 0$ est une équation du premier degré (linéaire).

La première étape : la mise sous forme standard

Avant de commencer les calculs, on range l'expression sous sa forme standard :

$ax^2 + bx + c = 0$

En procédant ainsi, on évite de se tromper dans les signes de $a$, $b$ et $c$. C'est une étape indispensable, surtout avant d'appliquer la formule quadratique.

Une fois l'équation ainsi préparée, voici comment choisir la méthode de résolution la plus efficace :

1. Si la factorisation est évidente, utilisez-la en priorité.
2. Si vous voulez mieux visualiser la forme de l'expression, pensez à la complétion du carré.
3. Si la factorisation ne saute pas aux yeux mais que vous voulez un résultat garanti, utilisez la formule quadratique.

Utilisation de la formule quadratique et du discriminant

La formule quadratique pour résoudre une équation du second degré est :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Même pour les expressions difficiles à factoriser, tant qu'elles sont sous forme standard, on peut les résoudre en suivant cette même procédure.

Le discriminant est défini par :

$D = b^2 - 4ac$

On l'utilise pour déterminer le nombre de solutions dans l'ensemble des nombres réels :

• Si $D > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes.
• Si $D = 0$, il y a une unique solution réelle (dite racine double).
• Si $D < 0$, il n'y a pas de solution réelle.

Cette explication se base sur les nombres réels. Si l'on étend l'étude aux nombres complexes, des solutions existent même quand $D < 0$.

Exemple : Combiner le discriminant et la formule quadratique

Résolvons l'équation suivante :

$x^2 - 4x - 1 = 0$

L'équation est déjà sous forme standard, nous avons donc $a = 1$, $b = -4$ et $c = -1$. La factorisation n'étant pas immédiate, nous utilisons la formule quadratique.

Calculons d'abord le discriminant :

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$

Comme $D > 0$, il y a deux solutions réelles. Substituons maintenant les valeurs dans la formule :

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$

Puisque $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, nous avons :

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

Les solutions sont donc :

$x = 2 + \sqrt{5},\quad x = 2 - \sqrt{5}$

Pour vérifier avec l'équation d'origine :

$\left(2 + \sqrt{5}\right)^2 - 4\left(2 + \sqrt{5}\right) - 1 = 0$

On obtient bien le résultat, et c'est la même chose pour l'autre solution, qui donne également $0$. La logique fondamentale est donc : utiliser le discriminant pour connaître le nombre de solutions, puis la formule quadratique pour trouver leurs valeurs.

Erreurs courantes et solutions

Lire les coefficients sans mettre sous forme standard

Par exemple, si on laisse l'expression telle quelle dans $x^2 = 4x + 1$, on risque de confondre les signes de $b$ et $c$. Il est beaucoup plus sûr de transformer l'équation en :

$x^2 - 4x - 1 = 0$

avant de commencer.

Oublier l'un des deux calculs de $\pm$

Dans la formule quadratique, il est impératif de calculer à la fois $+$ et $-$. Si vous vous retrouvez avec une seule réponse pour une équation du second degré, vérifiez ce point ; c'est souvent là que se trouve l'erreur.

Confondre la signification du discriminant

Le discriminant n'est pas « la solution » elle-même, mais une valeur permettant de juger du nombre de solutions réelles. Une fois que vous avez calculé $D$, vous passez ensuite à la formule quadratique ou à la factorisation si nécessaire.

Applications des équations du second degré

En mathématiques scolaires, on rencontre souvent ces équations lors de l'étude des paraboles, des valeurs maximales et minimales, des conditions de surface, ou encore dans les formules de vitesse et de mouvement. C'est un outil fondamental dès que l'on traite des relations impliquant $x^2$.

Le choix de la méthode dépend de la forme de l'équation : la factorisation est la plus rapide si elle est possible, sinon la formule quadratique reste la méthode la plus fiable.

Pour aller plus loin et s'exercer

Essayez maintenant de résoudre par vous-même l'équation suivante :

$x^2 + 2x - 3 = 0$

L'approche idéale : vérifiez d'abord la forme standard, tentez une factorisation, et si cela semble trop complexe, passez à la formule quadratique.

Pour progresser davantage, je vous recommande de choisir une expression difficile à factoriser et d'utiliser le discriminant et la formule quadratique ensemble. C'est en pratiquant sur des problèmes similaires que vous maîtriserez naturellement le choix de la méthode de résolution.