二次方程式 — 解の公式・判別式・例題

二次方程式は、$a \ne 0$ のもとで $ax^2 + bx + c = 0$ と書ける方程式です。解き方はまず標準形に直し、因数分解が見えなければ解の公式を使う、と覚えると十分です。実数解の個数は判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で判断できます。

このページでは、二次方程式の意味、解の公式と判別式の使い方、よくあるミスを、1つの例題でまとめて確認します。

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$$

二次方程式とは何か

二次方程式を解くとは、その式を成り立たせる $x$ の値を見つけることです。グラフで見ると、放物線 $y = ax^2 + bx + c$ が $x$ 軸と交わる位置を探すことに対応します。

ここで大事なのは、文字の最高次数が $2$ であることです。たとえば $x^2 - 5x + 6 = 0$ は二次方程式ですが、$2x + 3 = 0$ は一次方程式です。

最初にすることは標準形への整理

解き始める前に、式を標準形にそろえます。

$$ax^2 + bx + c = 0$$

この形にしておくと、$a$, $b$, $c$ の符号を読み違えにくくなります。特に解の公式を使うときは、この整理を飛ばさないことが大切です。

そのうえで、方法は次のように選ぶと見通しがよくなります。

1. 因数分解がすぐ見えるなら、まず因数分解を使う。
2. 式の形を見やすくしたいなら、平方完成を考える。
3. 因数分解が見えなくても確実に進めたいなら、解の公式を使う。

解の公式と判別式の使い方

二次方程式の解の公式は

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

です。因数分解しにくい式でも、標準形にできれば同じ手順で解けます。

判別式は

$$D = b^2 - 4ac$$

です。これは実数の範囲で解の個数を判断するときに使います。

• $D > 0$ なら、異なる2つの実数解をもちます。
• $D = 0$ なら、1つの実数解を重解としてもちます。
• $D < 0$ なら、実数解はありません。

この説明は実数を前提にしています。複素数まで広げるなら、$D < 0$ でも解はあります。

例題: 解の公式と判別式を一緒に使う

次の二次方程式を解きます。

$$x^2 - 4x - 1 = 0$$

すでに標準形なので、$a = 1$, $b = -4$, $c = -1$ です。因数分解はすぐには見えないので、解の公式を使います。

まず判別式を計算します。

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$$

$D > 0$ なので、実数解は2つあります。次に解の公式へ代入します。

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}$$

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ なので、

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$$

よって解は

$$x = 2 + \sqrt{5},\quad x = 2 - \sqrt{5}$$

です。

最後に元の式で確かめると、

$$\left(2 + \sqrt{5}\right)^2 - 4\left(2 + \sqrt{5}\right) - 1 = 0$$

となり、もう一方の解でも同様に $0$ になります。判別式で解の個数を見て、解の公式で実際の値を出す、という流れが基本です。

よくあるミスと対策

標準形に直さずに係数を読む

たとえば $x^2 = 4x + 1$ のままでは、$b$ と $c$ の符号を取り違えやすくなります。先に

$$x^2 - 4x - 1 = 0$$

に直してから考えるのが安全です。

$\\pm$ を1つしか計算しない

解の公式では、$+$ と $-$ の両方を計算する必要があります。二次方程式なのに答えを1つしか書いていないときは、ここを疑うと見つけやすいです。

判別式の意味を取り違える

判別式は「解そのもの」ではなく、実数解の個数を判断するための量です。$D$ を出したあとで、必要なら解の公式や因数分解に進みます。

二次方程式が出てくる場面

学校数学では、放物線、最大値・最小値、面積の条件、速さや運動の式などで二次方程式がよく現れます。$x^2$ を含む関係を解く場面では、かなり基本の道具です。

どの方法を使うかは式の形によって変わります。因数分解できるならそれが速く、見えないなら解の公式が安定しています。

次にやると理解が定着する

次は

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

を自分で解いてみてください。まず標準形を確認し、因数分解で見えるかを試す。それが難しければ解の公式に切り替える、という順番で進めると整理しやすくなります。

もう1題進めるなら、因数分解しにくい式を選んで、判別式と解の公式をセットで使ってみるのがおすすめです。似た問題で自分の手を動かすと、解き方の選び方まで自然に身につきます。