Preuve par contradiction — méthode et exemple classique

La preuve par contradiction établit une affirmation en supposant le contraire, puis en montrant que cette hypothèse mène à une impossibilité. Si le raisonnement est valide et que la contradiction est réelle, alors l’affirmation de départ doit être vraie.

Cette méthode est utile lorsque la négation vous donne quelque chose de concret à exploiter. Un cas classique consiste à montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel : une fois qu’on suppose qu’il est rationnel, on peut l’écrire sous forme de fraction et suivre les conséquences.

Comment fonctionne la preuve par contradiction

Supposons que l’énoncé à démontrer soit $P$.

Dans une preuve par contradiction, on commence par supposer que $P$ est faux. On raisonne ensuite à partir de cette hypothèse jusqu’à obtenir une contradiction, par exemple :

$$1 = 0$$

ou un conflit avec une définition connue, ou encore un énoncé qui ne peut pas être vrai en même temps qu’une étape précédente.

À ce stade, la négation de $P$ ne peut pas être correcte, donc $P$ doit être vrai.

La condition essentielle est que la contradiction découle d’un raisonnement valide et de faits admis. Un résultat qui semble seulement étrange ne suffit pas. Il faut qu’il soit impossible au regard des définitions ou des théorèmes utilisés.

Quand utiliser la preuve par contradiction

La preuve par contradiction fonctionne particulièrement bien lorsque le contraire d’un énoncé a une structure rigide. C’est fréquent en théorie des nombres, dans les preuves d’impossibilité et dans certaines questions d’existence.

Par exemple, si vous voulez prouver qu’un nombre est irrationnel, supposer qu’il est rationnel vous donne une écriture sous forme de fraction. Cette structure supplémentaire rend souvent la contradiction plus facile à trouver qu’avec une preuve directe.

Elle est moins utile lorsqu’une preuve directe courte existe déjà. La contradiction est une méthode valide, mais elle doit clarifier l’argument plutôt que de le rendre inutilement plus long.

Exemple détaillé : pourquoi $\sqrt{2}$ est irrationnel

Une preuve classique par contradiction montre que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Commençons par supposer le contraire :

$$\sqrt{2} \text{ est rationnel.}$$

Si c’était vrai, alors $\sqrt{2}$ pourrait s’écrire

$$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$$

où $a$ et $b$ sont des entiers, $b \neq 0$, et la fraction est irréductible.

Élevons maintenant les deux côtés au carré :

$$2 = \frac{a^2}{b^2}$$

donc

$$a^2 = 2b^2.$$

Cela nous dit que $a^2$ est pair. Cela impose que $a$ soit pair lui aussi, car le carré d’un entier impair est impair. On peut donc écrire

$$a = 2k$$

pour un certain entier $k$.

Remplaçons cela dans $a^2 = 2b^2$ :

$$(2k)^2 = 2b^2$$ $$4k^2 = 2b^2$$ $$2k^2 = b^2.$$

Alors $b^2$ est pair, donc $b$ est pair lui aussi.

Mais alors $a$ et $b$ sont tous deux pairs. Cela signifie qu’ils sont tous deux divisibles par $2$, ce qui contredit l’hypothèse selon laquelle $\frac{a}{b}$ était déjà irréductible.

Donc l’hypothèse de départ était fausse. Par conséquent, $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Pourquoi la contradiction est décisive

La contradiction n’est pas simplement « quelque chose semble faux ». Elle est précise :

1. L’hypothèse affirme que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sous forme irréductible.
2. Les calculs montrent que $a$ et $b$ doivent tous deux être pairs.
3. Une fraction ne peut pas être à la fois irréductible et avoir un numérateur et un dénominateur divisibles par $2$.

C’est ce conflit direct qui constitue la contradiction.

Erreurs fréquentes dans la preuve par contradiction

Une erreur fréquente consiste à supposer le contraire de manière trop vague. Il faut prendre la véritable négation de l’énoncé, et non un énoncé voisin qui lui ressemble.

Une autre erreur consiste à obtenir une contradiction à cause d’une étape algébrique invalide. Dans ce cas, la contradiction prouve seulement que le calcul était faux, pas que l’énoncé initial était vrai.

Une troisième erreur est de ne pas nommer le fait qui est contredit. Les bonnes preuves rendent le conflit explicite : une règle de parité, une définition, une condition de minimalité ou un théorème déjà démontré.

Il est aussi facile de masquer un raisonnement faible derrière la formule « c’est une contradiction ». Si vous ne pouvez pas désigner précisément le fait qui échoue, la preuve est probablement incomplète.

Un modèle simple de preuve par contradiction

Pour beaucoup de preuves de niveau débutant, la structure ressemble à ceci :

1. Supposer que l’énoncé est faux.
2. Traduire cette hypothèse sous une forme concrète.
3. Dérouler les conséquences étape par étape.
4. Obtenir une contradiction avec un fait connu.
5. Conclure que l’énoncé initial est vrai.

Si l’étape 2 est faible, la preuve reste généralement floue. Les meilleures preuves par contradiction viennent souvent du fait qu’on transforme la négation en quelque chose de très concret.

Essayez une preuve par contradiction similaire

Essayez l’énoncé « il n’existe pas de plus petit nombre rationnel positif ». Supposez qu’il en existe un, appelez-le $r$, puis demandez-vous ce qu’il advient de $\frac{r}{2}$. Si vous voulez vérifier votre raisonnement étape par étape sur une preuve similaire, essayez votre propre version dans GPAI Solver et comparez chaque affirmation avec la contradiction que vous cherchez à obtenir.