Demostración por contradicción — método y ejemplo clásico

La demostración por contradicción prueba una afirmación suponiendo lo contrario y mostrando que esa suposición lleva a una imposibilidad. Si la lógica es válida y la contradicción es real, la afirmación original debe ser verdadera.

Este método es útil cuando la negación te da algo concreto con lo que trabajar. Un caso clásico es demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional: una vez que supones que es racional, puedes escribirla como una fracción y seguir las consecuencias.

Cómo funciona la demostración por contradicción

Supón que la afirmación que quieres demostrar es $P$.

En una demostración por contradicción, comienzas suponiendo que $P$ es falsa. Luego razonas a partir de esa suposición hasta llegar a una contradicción, como por ejemplo:

$$1 = 0$$

o un conflicto con una definición conocida, o una afirmación que no puede ser verdadera al mismo tiempo que un paso anterior.

En ese punto, la negación de $P$ no puede ser correcta, así que $P$ debe ser verdadera.

La condición clave es que la contradicción debe surgir de un razonamiento válido y de hechos aceptados. No basta con obtener un resultado que simplemente parezca extraño. Tiene que ser imposible según las definiciones o teoremas que estás usando.

Cuándo usar la demostración por contradicción

La demostración por contradicción funciona mejor cuando lo contrario de una afirmación tiene una estructura rígida. Eso ocurre a menudo en teoría de números, demostraciones de imposibilidad y algunas preguntas de existencia.

Por ejemplo, si quieres demostrar que un número es irracional, suponer que es racional te da una forma fraccionaria con la que trabajar. Esa estructura extra suele hacer que la contradicción sea más fácil de encontrar que en una demostración directa.

Es menos útil cuando ya existe una demostración directa corta. La contradicción es un método válido, pero debe aclarar el argumento en lugar de hacerlo parecer más largo de lo necesario.

Ejemplo resuelto: por qué $\sqrt{2}$ es irracional

Una demostración clásica por contradicción muestra que $\sqrt{2}$ es irracional.

Empieza suponiendo lo contrario:

$$\sqrt{2} \text{ es racional.}$$

Si eso fuera cierto, entonces $\sqrt{2}$ podría escribirse como

$$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$$

donde $a$ y $b$ son enteros, $b \neq 0$, y la fracción está en su forma irreducible.

Ahora eleva al cuadrado ambos lados:

$$2 = \frac{a^2}{b^2}$$

así que

$$a^2 = 2b^2.$$

Esto nos dice que $a^2$ es par. Eso obliga a que $a$ también sea par, porque el cuadrado de un entero impar es impar. Entonces escribe

$$a = 2k$$

para algún entero $k$.

Sustituye eso en $a^2 = 2b^2$:

$$(2k)^2 = 2b^2$$ $$4k^2 = 2b^2$$ $$2k^2 = b^2.$$

Ahora $b^2$ es par, así que $b$ también es par.

Pero entonces tanto $a$ como $b$ son pares. Eso significa que ambos son divisibles por $2$, lo cual contradice la suposición de que $\frac{a}{b}$ ya estaba en su forma irreducible.

Así que la suposición original era falsa. Por lo tanto, $\sqrt{2}$ es irracional.

Por qué la contradicción es decisiva

La contradicción no es solo “algo parece estar mal”. Es específica:

1. La suposición dice que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ está en su forma irreducible.
2. El álgebra muestra que tanto $a$ como $b$ deben ser pares.
3. Una fracción no puede estar a la vez en su forma irreducible y tener numerador y denominador divisibles por $2$.

Ese choque directo es la contradicción.

Errores comunes en la demostración por contradicción

Un error común es suponer lo contrario de manera demasiado vaga. Necesitas la negación real de la afirmación, no solo una afirmación cercana que suene parecida.

Otro error es llegar a una contradicción por un paso algebraico inválido. En ese caso, la contradicción solo demuestra que el álgebra estaba mal, no que la afirmación original fuera verdadera.

Un tercer error es no nombrar el hecho que se está contradiciendo. Las buenas demostraciones hacen explícito el conflicto: una regla de paridad, una definición, una condición de minimalidad o un teorema demostrado previamente.

También es fácil ocultar un razonamiento débil detrás de la frase “esto es una contradicción”. Si no puedes señalar el hecho exacto que falló, la demostración probablemente está incompleta.

Una plantilla simple de demostración por contradicción

En muchas demostraciones para principiantes, la estructura se ve así:

1. Supón que la afirmación es falsa.
2. Traduce esa suposición a una forma concreta.
3. Sigue las consecuencias paso a paso.
4. Llega a una contradicción con un hecho conocido.
5. Concluye que la afirmación original es verdadera.

Si el paso 2 es débil, la demostración normalmente seguirá siendo imprecisa. Las demostraciones por contradicción más sólidas suelen surgir de convertir la negación en algo muy concreto.

Prueba una demostración por contradicción similar

Prueba con la afirmación “no existe el menor número racional positivo”. Supón que sí existe uno, llámalo $r$, y pregúntate qué ocurre con $\frac{r}{2}$. Si quieres comprobar tu razonamiento paso a paso en una demostración parecida, intenta tu propia versión en GPAI Solver y compara cada afirmación con la contradicción a la que quieres llegar.