Định luật Gauss — Thông lượng điện và ứng dụng

Định luật Gauss phát biểu rằng thông lượng điện tổng cộng qua mọi mặt kín bằng điện tích được mặt đó bao kín chia cho $\varepsilon_0$. Trong hệ SI,

$$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$$

Ở đây $Q_{\mathrm{enc}}$ là tổng điện tích bên trong mặt. Định luật này luôn đúng, nhưng hữu ích nhất khi tính đối xứng cho phép bạn biến tích phân thông lượng thành một biểu thức đơn giản cho $E$.

Thông lượng điện theo cách hiểu đơn giản

Thông lượng điện đo lượng điện trường đi qua một bề mặt. Chỉ thành phần của $\mathbf{E}$ vuông góc với bề mặt mới được tính:

$$d\Phi_E = \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$$

Nếu điện trường song song với bề mặt thì thông lượng tại đó bằng không. Nếu nó hướng ra ngoài qua bề mặt thì đóng góp là dương; nếu hướng vào trong thì đóng góp là âm.

Đối với định luật Gauss, bề mặt phải là mặt kín, như mặt cầu, mặt trụ hoặc hình hộp. Một tấm hở thì không đủ.

Định luật Gauss nói gì và không nói gì

Định luật Gauss không nói rằng điện trường tại mỗi điểm chỉ phụ thuộc vào điện tích bao kín. Nó nói rằng thông lượng tổng cộng qua một mặt kín được quyết định bởi điện tích bao kín.

Sự khác biệt này rất quan trọng. Các điện tích ở ngoài mặt có thể làm thay đổi điện trường tại các điểm trên mặt, nhưng tổng đóng góp của chúng vào thông lượng thuần qua mặt kín đó bằng không.

Khi nào định luật Gauss hữu ích để tìm điện trường

Định luật Gauss mạnh nhất khi tính đối xứng cho bạn biết một điều đơn giản về điện trường trên một mặt Gauss được chọn cẩn thận.

Các trường hợp chuẩn là:

1. Đối xứng cầu, như điện tích điểm hoặc quả cầu tích điện đều.
2. Đối xứng trụ, như một dây tích điện dài vô hạn lý tưởng.
3. Đối xứng phẳng, như một tấm tích điện vô hạn lý tưởng.

Trong các trường hợp này, bạn thường có thể đưa $E$ ra ngoài dấu tích phân vì độ lớn của nó không đổi trên mặt đã chọn và hướng của nó so với $d\mathbf{A}$ là đơn giản.

Nếu phân bố điện tích không có tính đối xứng đó, định luật Gauss vẫn đúng, nhưng thường không cho $E$ trực tiếp.

Ví dụ có lời giải: điện trường của điện tích điểm

Giả sử một điện tích điểm $q$ nằm ở tâm của một mặt cầu tưởng tượng bán kính $r$. Vì tình huống này có đối xứng cầu, điện trường có phương bán kính và có cùng độ lớn tại mọi điểm trên mặt cầu đó.

Với mặt cầu, vectơ diện tích $d\mathbf{A}$ hướng theo phương bán kính ra ngoài, nên $\mathbf{E}$ song song với $d\mathbf{A}$ tại mọi điểm trên mặt. Điều đó làm tích vô hướng trở nên đơn giản:

$$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \oint dA = E(4\pi r^2)$$

Điện tích bao kín chỉ là $q$, nên định luật Gauss cho

$$E(4\pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0}$$

Giải theo $E$ ta được

$$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Đây là biểu thức quen thuộc của điện trường do điện tích điểm gây ra. Ý tưởng quan trọng là định luật Gauss chỉ trở nên dễ dùng vì tính đối xứng cho ta biết điện trường có cùng độ lớn ở mọi nơi trên mặt cầu.

Vì sao kết quả tỉ lệ như $1/r^2$

Nếu bạn tăng gấp đôi bán kính của mặt cầu, diện tích của nó sẽ lớn gấp bốn lần. Cùng một điện tích bao kín lúc này được phân bố trên diện tích lớn gấp bốn, nên điện trường giảm đi một hệ số $4$.

Lập luận theo diện tích đó là lý do điện trường của điện tích điểm tỉ lệ như $1/r^2$.

Những lỗi thường gặp

Nhầm lẫn giữa thông lượng và điện trường

Thông lượng không giống điện trường. Thông lượng là một tích phân mặt, nên điện trường mạnh tại một số điểm không tự động có nghĩa là thông lượng thuần lớn.

Dùng mặt hở

Định luật Gauss ở dạng này yêu cầu một mặt kín. Một đĩa tròn hay một mảnh phẳng riêng lẻ không bao kín điện tích.

Quên điều kiện đối xứng

Sinh viên thường viết $EA = Q_{\mathrm{enc}}/\varepsilon_0$ quá sớm. Cách rút gọn đó chỉ đúng khi độ lớn của điện trường không đổi trên mặt đã chọn và góc giữa $\mathbf{E}$ và $d\mathbf{A}$ là cố định hoặc dễ xử lý.

Nghĩ rằng điện tích bao kín bằng không thì điện trường bằng không

Nếu $Q_{\mathrm{enc}} = 0$, thì thông lượng thuần bằng không. Điện trường trên mặt vẫn có thể khác không vì có thể tồn tại các điện tích ở ngoài mặt.

Định luật Gauss được dùng ở đâu

Định luật Gauss được dùng để suy ra điện trường của các phân bố điện tích có tính đối xứng cao, để phân tích vật dẫn ở trạng thái cân bằng tĩnh điện, và để liên hệ mật độ điện tích với tính chất của điện trường trong các phương trình Maxwell.

Trong một khóa học nhập môn, giá trị thực tế lớn nhất của nó là tốc độ. Khi tính đối xứng đủ mạnh, nó biến một phép tính điện trường dài thành một lập luận ngắn.

Dạng vi phân của định luật Gauss

Trong chân không, định luật Gauss cũng có thể được viết dưới dạng cục bộ là

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

Ở đây $\rho$ là mật độ điện tích thể tích. Dạng này nói rằng điện tích đóng vai trò là nguồn của độ phân kỳ điện trường.

Với hầu hết các bài toán nhập môn, dạng tích phân là điểm bắt đầu tốt hơn vì nó liên hệ trực tiếp với mặt Gauss và tính đối xứng.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy thử áp dụng cùng lập luận đối xứng cầu cho một vỏ cầu tích điện đều, trước tiên ở bên ngoài vỏ rồi sau đó ở bên trong. Ví dụ tiếp theo đó sẽ làm rõ hơn nhiều vai trò của tính đối xứng, điện tích bao kín và khoảng cách.