Số pi (π) — Giá trị, lịch sử và vì sao quan trọng

Số pi, ký hiệu là $\pi$, xấp xỉ bằng $3.14159$. Trong hình học Euclid, nó là tỉ số không đổi giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của đường tròn đó, nên mọi đường tròn đều cho cùng một mối quan hệ:

$$\pi = \frac{C}{d}$$

Khai triển thập phân của nó không kết thúc và cũng không lặp lại, vì vậy trong các bài toán, người ta thường giữ đáp án dưới dạng $\pi$ thay vì làm tròn quá sớm.

Giá trị của số pi có nghĩa là gì

Cách nhanh nhất để hiểu $\pi$ là xem nó như một phép so sánh. Hãy đo độ dài đường bao quanh một đường tròn, rồi chia cho độ dài đi ngang qua tâm. Trong hình học Euclid, tỉ số đó luôn là $\pi$.

Đó là lý do $\pi$ xuất hiện trong các công thức cơ bản của đường tròn:

$$C = \pi d$$

và

$$C = 2\pi r$$

Nó cũng xuất hiện trong công thức diện tích:

$$A = \pi r^2$$

vì đường kính gấp đôi bán kính, và diện tích phụ thuộc vào mức độ đường tròn trải rộng ra từ tâm.

Vì sao số pi giống nhau với mọi đường tròn

Nếu bạn phóng to hoặc thu nhỏ một đường tròn, cả chu vi và đường kính đều thay đổi theo cùng một hệ số. Vì cả hai đại lượng cùng thay đổi, tỉ số $C/d$ vẫn không đổi.

Đó là ý chính. Pi không phải là một số ngẫu nhiên gắn với một đường tròn đặc biệt nào đó. Nó là cùng một hằng số cho mọi đường tròn Euclid.

Ví dụ có lời giải: bán kính $6$ cm

Giả sử một đường tròn có bán kính $6$ cm. Khi đó đường kính là $12$ cm.

Với chu vi:

$$C = 2\pi r = 2\pi(6) = 12\pi \text{ cm}$$

Dùng $\pi \approx 3.14159$,

$$C \approx 37.70 \text{ cm}$$

Với diện tích:

$$A = \pi r^2 = \pi(6)^2 = 36\pi \text{ cm}^2$$

Dùng cùng giá trị xấp xỉ,

$$A \approx 113.10 \text{ cm}^2$$

Đây là một mẫu làm bài phù hợp cho hầu hết các bài toán ở trường: giữ $\pi$ cho đáp án chính xác, rồi chỉ làm tròn nếu đề bài yêu cầu kết quả thập phân.

Giá trị chính xác và giá trị thập phân gần đúng

Nếu bài toán yêu cầu đáp án chính xác, hãy viết $12\pi$ hoặc $36\pi$ thay vì thay $\pi$ bằng $3.14$. Giá trị thập phân chỉ là một giá trị gần đúng.

Nếu bài toán yêu cầu kết quả đo được hoặc kết quả đã làm tròn, thì hãy dùng số thập phân như $\pi \approx 3.14$ hoặc $\pi \approx 3.14159$, và nêu rõ cách làm tròn.

Lược sử ngắn về số pi

Từ rất lâu trước đây, con người đã biết rằng các đường tròn có chung một tỉ số không đổi giữa chu vi và đường kính, ngay cả trước khi ký hiệu hiện đại xuất hiện. Các nền văn minh cổ đại dùng những giá trị gần đúng thô, và Archimedes đã đưa ra một cận nổi tiếng khi chỉ ra rằng $\pi$ nằm giữa $\frac{223}{71}$ và $\frac{22}{7}$.

Ký hiệu $\pi$ xuất hiện sau đó. William Jones dùng nó vào năm $1706$, và Euler đã góp phần khiến nó trở thành ký hiệu chuẩn vào cuối thế kỷ $18$.

Những lỗi thường gặp khi dùng số pi

Một lỗi phổ biến là coi $\pi = 3.14$ là giá trị chính xác. Đây chỉ là một giá trị gần đúng, trừ khi bài toán yêu cầu rõ một số thập phân đã làm tròn.

Một lỗi khác là nhầm lẫn giữa bán kính và đường kính. Trong $C = \pi d$, bạn dùng trực tiếp đường kính. Trong $C = 2\pi r$, bạn dùng trực tiếp bán kính. Hai công thức này chỉ khớp nhau khi xử lý đúng $d = 2r$.

Học sinh cũng đôi khi cho rằng $\frac{22}{7}$ chính xác bằng $\pi$. Đây là một giá trị gần đúng hữu ích, nhưng không bằng $\pi$.

Số pi được dùng ở đâu

Trong toán học ở trường, $\pi$ xuất hiện trong chu vi, diện tích, cung tròn, hình quạt và lượng giác. Trong khoa học và kỹ thuật, nó cũng xuất hiện trong các bài toán về chuyển động quay, sóng và chuyển động tuần hoàn.

Điều kiện của bài toán rất quan trọng. Nếu bài toán liên quan đến hình học tròn, đối xứng quay hoặc các chu kỳ lặp lại, $\pi$ thường xuất hiện vì một lý do cấu trúc. Nếu không, việc cố đưa $\pi$ vào phép tính thường có nghĩa là cách thiết lập bài toán đang sai.

Vì sao số pi quan trọng

Pi quan trọng vì nó nối một hình dạng đơn giản với một tập hợp ý tưởng rộng lớn hơn nhiều. Khi bạn hiểu vì sao cùng một hằng số lại xuất hiện trong mọi đường tròn, các công thức liên quan đến góc, sóng và chuyển động quay sẽ bớt khó hiểu hơn.

Bạn không cần lý thuyết nâng cao để dùng nó tốt. Trong hầu hết các bài toán, kỹ năng thật sự là biết khi nào nên giữ $\pi$ ở dạng chính xác và khi nào có thể dùng giá trị thập phân gần đúng.

Thử một bài tương tự

Lấy một đường tròn có đường kính $14$ cm và tìm cả chu vi lẫn diện tích của nó. Trước hết hãy để cả hai đáp án dưới dạng $\pi$, rồi đổi chúng sang số thập phân. Đây là một cách nhanh để luyện chuyển đổi giữa dạng chính xác và dạng gần đúng.