Phân Số — Cộng, Trừ, Nhân, Chia và Rút Gọn

Phân số là cách viết một phần của đơn vị hoặc một tỉ số dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $b \ne 0$. Nếu bạn đang tìm cách cộng, trừ, nhân, chia phân số, ý chính là: cộng và trừ thì cần cùng mẫu số; nhân thì nhân tử với tử, mẫu với mẫu; chia thì đổi sang nhân với phân số nghịch đảo.

Sau mỗi phép tính, hãy rút gọn nếu tử và mẫu còn cùng chia hết cho một số lớn hơn $1$. Làm đúng ba ý trên là bạn xử lý được phần lớn bài toán phân số cơ bản.

Phân số là gì và vì sao cần rút gọn

Phân số $\frac{3}{4}$ nghĩa là lấy $3$ trong $4$ phần bằng nhau. Tử số cho biết lấy mấy phần, còn mẫu số cho biết đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.

Cùng một giá trị có thể được viết theo nhiều cách, chẳng hạn $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$. Rút gọn không làm đổi giá trị của phân số; nó chỉ đưa kết quả về dạng gọn hơn và dễ so sánh hơn.

Ví dụ:

$$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$

Bạn chỉ được rút gọn khi chia cả tử và mẫu cho cùng một số khác $0$.

Khi nào phải quy đồng mẫu số

Cộng hoặc trừ phân số chỉ làm trực tiếp trên tử số khi hai mẫu số đã giống nhau. Nếu mẫu khác nhau, bạn phải quy đồng trước.

Ví dụ, với $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$, mẫu số chung thuận tiện là $6$:

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \qquad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$

Lúc đó:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Với hai phân số tổng quát $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, trong đó $b \ne 0$ và $d \ne 0$, ta có thể viết gọn:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$

Đây chỉ là cách viết gọn của bước quy đồng mẫu số. Nếu mới học, bạn nên làm theo từng bước thay vì cố nhớ công thức ngay.

Cách nhân và chia phân số

Với phép nhân, bạn không cần quy đồng. Chỉ cần nhân tử với tử và mẫu với mẫu:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

Với phép chia, bạn đổi thành phép nhân với phân số nghịch đảo của số thứ hai:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

Điều kiện quan trọng là phân số thứ hai phải khác $0$. Nói cách khác, $\frac{c}{d} \ne 0$ thì mới chia được.

Ví dụ phân số: tính với $\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{6}$

Giả sử ta cần làm đủ bốn phép tính với hai phân số sau:

$$\frac{2}{3} \quad \text{và} \quad \frac{1}{6}$$

Cộng

Hai mẫu số là $3$ và $6$, nên trước hết quy đồng $\frac{2}{3}$ về mẫu $6$:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Vì thế:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Trừ

Ta vẫn dùng mẫu số chung là $6$:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Nhân

Với phép nhân, không cần quy đồng:

$$\frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2 \times 1}{3 \times 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$

Chia

Đổi phép chia thành nhân với nghịch đảo của $\frac{1}{6}$:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{12}{3} = 4$$

Điểm đáng nhớ là kết quả của phép chia có thể lớn hơn cả hai phân số ban đầu. Điều đó hoàn toàn bình thường, vì chia cho $\frac{1}{6}$ nghĩa là hỏi trong $\frac{2}{3}$ có bao nhiêu nhóm kích thước $\frac{1}{6}$.

Những lỗi thường gặp khi học phân số

• Cộng luôn tử với tử và mẫu với mẫu, chẳng hạn viết $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$. Cách này sai.
• Quên quy đồng khi cộng hoặc trừ các phân số khác mẫu.
• Đảo nhầm phân số thứ nhất trong phép chia. Chỉ phân số thứ hai mới được lấy nghịch đảo.
• Rút gọn sai chỗ. Bạn có thể rút gọn trong một tích hoặc rút gọn kết quả cuối cùng, nhưng không được "gạch chéo" tùy ý trong phép cộng hay phép trừ.
• Quên điều kiện mẫu số khác $0$.

Khi nào phân số được dùng nhiều

Phân số xuất hiện khi bạn chia đều một lượng, làm việc với tỉ lệ, đo lường, nấu ăn, xác suất cơ bản và các bài toán đại số đầu cấp. Chúng cũng là bước trung gian rất quen thuộc trước khi đổi sang số thập phân hoặc phần trăm.

Hiểu phân số không chỉ để làm bài tập. Nó còn giúp bạn nhìn rõ ý nghĩa của "một phần của một lượng" trong các tình huống thực tế.

Thử một bài tương tự

Hãy tự làm lại bốn phép tính với $\frac{5}{8}$ và $\frac{1}{4}$, rồi rút gọn mọi kết quả. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy đổi các đáp án sang số thập phân để tự kiểm tra trực giác của mình.