สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว — วิธีแก้ สูตร และตัวอย่างสรุป

สมการเชิงเส้นคือสมการที่ตัวแปร เช่น $x$ ปรากฏอยู่ในรูปกำลังหนึ่งเท่านั้น สำหรับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เมื่อจัดรูปแล้วมักจะอยู่ในรูปแบบ $ax+b=0$ โดยที่ $a \ne 0$ หัวใจสำคัญคือการดำเนินการเหมือนกันทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ $x$ อยู่ตัวเดียว

หากสมการอยู่ในรูปแบบพื้นฐานแล้ว เราสามารถหาคำตอบได้ทันที

$ax + b = 0$

$x = -\frac{b}{a}$

สูตรนี้ควรจำไว้ แต่สิ่งที่สำคัญกว่าคือการเข้าใจว่าทำไมถึงได้คำตอบแบบนี้

ทำไมสูตรสมการเชิงเส้นถึงเป็น $x=-\frac{b}{a}$

หากสมการอยู่ในรูปแบบ $ax+b=0$ ให้กำจัด $b$ ออกไปก่อน จากนั้นจึงกำจัดสัมประสิทธิ์ $a$ ของ $x$ ในขั้นตอนสุดท้าย

$ax+b=0$

$ax=-b$

เมื่อหารทั้งสองข้างด้วย $a$ จะได้

$x=-\frac{b}{a}$

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a \ne 0$ เท่านั้น หาก $a=0$ สัมประสิทธิ์ของ $x$ จะหายไป ทำให้ไม่สามารถแก้ด้วยวิธีเดียวกันนี้ได้

วิธีแยกแยะความหมายของสมการเชิงเส้นอย่างรวดเร็ว

การที่ $x$ ปรากฏในรูปกำลังหนึ่ง หมายความว่าจะต้องไม่มีรูปแบบอย่าง $x^2$, $\sqrt{x}$, หรือ $\frac{1}{x}$ ตัวอย่างเช่น

$3x - 7 = 11$

เป็นสมการเชิงเส้น แต่

$x^2 - 4 = 0$

เป็นสมการกำลังสอง กล่าวคือ แม้ว่าสมการเริ่มต้นจะดูซับซ้อน แต่ถ้าจัดรูปแล้วอยู่ในรูปแบบ $ax+b=0$ ก็ถือว่าเป็นสมการเชิงเส้น

โจทย์ที่นักเรียนพบบ่อยๆ อาจไม่ได้อยู่ในรูปแบบ $ax+b=0$ ตั้งแต่แรก แต่ถ้าเรากระจายวงเล็บและรวบรวมพจน์ที่เหมือนกัน ปกติแล้วจะจัดรูปให้อยู่ในรูปแบบนั้นได้ ดังนั้น การเข้าใจลำดับการจัดรูปจึงมั่นคงกว่าการท่องจำเพียงแค่สูตร

ขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้น

โดยทั่วไปให้แก้ตามลำดับดังนี้:

1. หากมีวงเล็บ ให้ใช้สมบัติการแจกแจงเพื่อถอดวงเล็บ
2. รวบรวมพจน์ประเภทเดียวกันเพื่อจัดรูปสมการ
3. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปไว้ข้างหนึ่ง และพจน์ที่เป็นตัวเลขไปไว้อีกข้างหนึ่ง
4. ในขั้นตอนสุดท้าย ให้หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปร
5. นำค่าที่ได้ไปแทนในสมการเดิมเพื่อตรวจคำตอบ

หากจำลำดับนี้ได้ ไม่ว่าสมการจะยาวแค่ไหน คุณจะมองออกทันทีว่าต้องทำอะไรตรงไหน

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้น

ลองแก้สมการต่อไปนี้:

$2(x - 3) + 4 = 10$

ขั้นแรก ถอดวงเล็บก่อน:

$2x - 6 + 4 = 10$

รวบรวมพจน์ที่เหมือนกัน:

$2x - 2 = 10$

บวก $2$ ทั้งสองข้างเพื่อให้เหลือเพียงพจน์ตัวแปร:

$2x = 12$

ตอนนี้ ให้หารทั้งสองข้างด้วย $2$:

$x = 6$

การตรวจคำตอบจะทำให้การแก้โจทย์สมบูรณ์ยิ่งขึ้น เมื่อแทน $x=6$ ลงในสมการเดิม:

$2(6 - 3) + 4 = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$

เนื่องจากฝั่งซ้ายและฝั่งขวามีค่าเท่ากัน คำตอบจึงถูกต้อง

ตัวอย่างนี้ครอบคลุมหัวใจสำคัญเกือบทั้งหมด ตั้งแต่การถอดวงเล็บ, การจัดรูปพจน์, การหารด้วยสัมประสิทธิ์ ไปจนถึงการตรวจคำตอบ ซึ่งเป็นกระแสการทำงานพื้นฐานของสมการเชิงเส้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในสมการเชิงเส้น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการจัดการเครื่องหมายผิด เช่น ไม่ควรเขียน $2(x-3)$ เป็น $2x-3$ ตามสมบัติการแจกแจงแล้ว จะต้องเป็น:

$2(x-3)=2x-6$

อีกจุดหนึ่งคือการเปลี่ยนเครื่องหมายโดยไม่มีเหตุผลเมื่อย้ายพจน์ ในความเป็นจริง ขั้นตอนแรกคือการบวกหรือลบจำนวนที่เท่ากันทั้งสองข้าง หากพลาดหลักการนี้ ยิ่งสมการยาวขึ้น โอกาสผิดก็จะยิ่งมากขึ้น

สุดท้าย มีหลายคนที่รีบสรุปคำตอบจาก $2x=12$ เป็น $x=10$ ซึ่งเป็นข้อผิดพลาด ในขั้นตอนสุดท้ายต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเสมอ ในที่นี้ต้องหารทั้งสองข้างด้วย $2$ เพื่อให้ได้ $x=6$

สมการเชิงเส้นนำไปใช้ที่ไหนบ้าง

สมการเชิงเส้นปรากฏในโจทย์พื้นฐานเกือบทุกข้อที่ต้อง "หาค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่งค่า" เช่น การคำนวณราคา, การเปรียบเทียบความยาว, โจทย์เรื่องอายุ หรือโจทย์เรื่องอัตราส่วน ซึ่งขั้นตอนแรกมักจะเป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่น ประโยคที่ว่า "จำนวนหนึ่งบวกด้วย $5$ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น $17$" สามารถเปลี่ยนเป็น:

$x + 5 = 17$

ได้ทันที ดังนั้น สมการเชิงเส้นจึงเป็นทั้งทักษะการคำนวณและเป็นการฝึกเปลี่ยนประโยคภาษาให้เป็นประโยคสัญลักษณ์

ลองแก้โจทย์ที่คล้ายกันด้วยตัวเอง

ลองแก้โจทย์ที่คล้ายกันตอนนี้เลยเพื่อให้เข้าใจแนวคิดได้เร็วขึ้น ตัวอย่างเช่น:

$3x + 4 = 19$

ลองแก้ด้วยตัวเองและอย่าลืมตรวจคำตอบในตอนท้าย หากต้องการฝึกฝนเพิ่มเติม ให้ลองสร้างสมการที่คล้ายกันขึ้นมาอีกข้อเพื่อเช็กว่าวิธีการของคุณถูกต้องและแม่นยำหรือไม่