Équations du premier degré — Méthodes de résolution, formules et exemples

Une équation du premier degré est une équation où l'inconnue, comme $x$, n'apparaît qu'à la puissance 1. Une équation du premier degré à une inconnue prend généralement la forme $ax+b=0$ après simplification, avec la condition que $a \ne 0$. L'idée fondamentale est d'effectuer la même opération des deux côtés de l'égalité pour isoler $x$.

Si l'équation est déjà sous sa forme standard, la solution peut être trouvée immédiatement.

$ax + b = 0$

$x = -\frac{b}{a}$

Il peut être utile de mémoriser cette formule, mais il est encore plus important de comprendre pourquoi on obtient ce résultat.

Pourquoi la formule est-elle $x=-\frac{b}{a}$ ?

Si l'équation est déjà sous la forme $ax+b=0$, il suffit d'éliminer $b$, puis d'éliminer le coefficient $a$ de $x$ à la fin.

$ax+b=0$

$ax=-b$

En divisant les deux côtés par $a$, on obtient :

$x=-\frac{b}{a}$

Cependant, cette formule n'est utilisable que si $a \ne 0$. Si $a=0$, le coefficient de $x$ disparaît, et on ne peut donc pas résoudre l'équation de la même manière.

Comment identifier rapidement une équation du premier degré

Dire que $x$ n'apparaît qu'au premier degré signifie qu'il n'y a pas de termes comme $x^2$, $\sqrt{x}$ ou $\frac{1}{x}$. Par exemple :

$3x - 7 = 11$

est une équation du premier degré, alors que :

$x^2 - 4 = 0$

est une équation du second degré. En résumé, même si l'expression initiale semble complexe, s'il elle peut être simplifiée sous la forme $ax+b=0$, c'est une équation du premier degré.

Dans les exercices, l'équation n'est pas toujours présentée sous la forme $ax+b=0$ dès le début. Néanmoins, en développant les parenthèses et en regroupant les termes semblables, on arrive généralement à cette forme. C'est pourquoi il est plus efficace de comprendre l'ordre de simplification que de simplement mémoriser une formule.

Étapes de résolution d'une équation du premier degré

En général, vous pouvez suivre cet ordre :

1. S'il y a des parenthèses, les supprimer en utilisant la distributivité.
2. Regrouper les termes de même nature pour simplifier l'expression.
3. Placer les termes contenant l'inconnue d'un côté et les termes constants de l'autre.
4. Enfin, diviser les deux côtés par le coefficient de l'inconnue.
5. Vérifier le résultat en substituant la valeur trouvée dans l'équation d'origine.

En retenant cet ordre, vous saurez exactement quoi faire, même si l'équation devient longue.

Exemple de résolution d'une équation du premier degré

Résolvons l'équation suivante :

$2(x - 3) + 4 = 10$

D'abord, on développe les parenthèses :

$2x - 6 + 4 = 10$

En regroupant les termes semblables :

$2x - 2 = 10$

En ajoutant $2$ des deux côtés pour ne laisser que les termes avec l'inconnue :

$2x = 12$

Maintenant, on divise les deux côtés par $2$ :

$x = 6$

La vérification rend la solution plus robuste. En remplaçant l'inconnue par $x=6$ dans l'équation d'origine :

$2(6 - 3) + 4 = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$

Le membre de gauche est égal au membre de droite, la réponse est donc correcte.

Cet exemple couvre presque tous les points essentiels : développement des parenthèses, regroupement des termes, division par le coefficient et vérification.

Erreurs courantes dans les équations du premier degré

L'erreur la plus fréquente concerne la gestion des signes. Par exemple, on ne doit pas écrire $2(x-3)$ comme $2x-3$. Selon la distributivité, on doit avoir :

$2(x-3)=2x-6$

Une autre erreur consiste à changer le signe d'un terme lors de son déplacement sans comprendre pourquoi. En réalité, il s'agit d'un processus d'addition ou de soustraction du même nombre des deux côtés. Si l'on oublie ce principe, les erreurs se multiplient à mesure que l'équation s'allonge.

Enfin, beaucoup d'élèves font l'erreur de s'arrêter précipitamment à l'étape $2x=12$ comme dans $x=10$. À la dernière étape, il faut impérativement diviser par le coefficient de l'inconnue. Ici, on divise les deux côtés par $2$ pour obtenir $x=6$.

Applications des équations du premier degré

Les équations du premier degré apparaissent dans presque tous les problèmes de base consistant à "trouver une valeur inconnue". Le calcul de prix, la comparaison de longueurs, les problèmes d'âge ou les problèmes de proportions commencent souvent par une équation du premier degré.

Par exemple, la phrase "Si on ajoute $5$ à un nombre, on obtient $17$" peut être directement traduite par :

$x + 5 = 17$

Ainsi, la résolution d'équations du premier degré est à la fois une technique de calcul et un exercice de traduction d'un énoncé en expression mathématique.

Entraînez-vous avec un problème similaire

Pour consolider vos acquis, essayez de résoudre un problème similaire dès maintenant. Par exemple :

$3x + 4 = 19$

Résolvez-le par vous-même et n'oubliez pas de vérifier votre résultat à la fin. Si vous souhaitez vous entraîner davantage, créez une équation similaire pour vérifier que votre méthode est bien maîtrisée.