สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองเกือบทุกครั้งจะมีขั้นตอนที่คล้ายกัน คือ จัดรูปสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน, ระบุค่า $a$, $b$ และ $c$, คำนวณค่าเดลตา (delta) แล้วจึงเลือกวิธีแก้ที่เหมาะสมที่สุด หากคุณทำงานกับจำนวนจริง จุดสำคัญคือต้องดูว่าสมการนั้นมีสองคำตอบ, มีคำตอบเดียว (คำตอบซ้ำ) หรือไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเลย

รูปแบบที่คุณต้องสังเกตคือ

$ax^2 + bx + c = 0$

โดยที่ $a \ne 0$ ซึ่ง $a$ คือสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$, $b$ คือสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x$ และ $c$ คือค่าคงตัว

วิธีสังเกตสมการกำลังสอง

การเห็นพจน์ที่มี $x^2$ เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ คุณต้องจัดรูปสมการก่อน หากพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดยังคงเป็น $x^2$ และสัมประสิทธิ์ของมันไม่เป็นศูนย์ สมการนั้นจึงจะเป็นสมการกำลังสอง

ตัวอย่างเช่น

$3x^2 + 5x = 2$

เป็นสมการกำลังสอง แต่ต้องเขียนใหม่ให้อยู่ในรูป

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

แต่ถ้าพจน์ $x^2$ หายไปในระหว่างการคำนวณ สมการนั้นจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป

เดลตา (Delta): จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงกี่คำตอบ

เมื่อคุณหาค่า $a$, $b$ และ $c$ ได้แล้ว คุณสามารถคำนวณค่าดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ได้ดังนี้:

$\Delta = b^2 - 4ac$

หากคุณทำงานกับจำนวนจริง:

• ถ้า $\Delta > 0$ จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองคำตอบ
• ถ้า $\Delta = 0$ จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียว (คำตอบซ้ำ)
• ถ้า $\Delta < 0$ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

ค่าเดลตาไม่ได้มาแทนที่การคำนวณหาคำตอบ แต่จะบอกคุณทันทีว่าควรคาดหวังผลลัพธ์แบบไหน ซึ่งมีประโยชน์มากในการตรวจสอบว่าคำตอบสุดท้ายที่ได้นั้นสมเหตุสมผลหรือไม่

สูตรคำนวณหาคำตอบ: ควรใช้เมื่อไหร่

สูตรคำนวณหาคำตอบเป็นวิธีที่ใช้ได้ทั่วไปที่สุด:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

สูตรนี้ใช้ได้เมื่อสมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและ $a \ne 0$ หากพหุนามสามารถแยกตัวประกอบได้ทันที การแยกตัวประกอบอาจจะรวดเร็วกว่า แต่ถ้ามองไม่ออกว่าจะแยกตัวประกอบอย่างไร การใช้สูตรคำนวณจะเป็นวิธีที่น่าเชื่อถือที่สุด

ตัวอย่างการทำโจทย์ทีละขั้นตอน

มาลองแก้สมการนี้กัน:

$2x^2 - x - 3 = 0$

ขั้นแรก ระบุค่าสัมประสิทธิ์:

$a = 2,\quad b = -1,\quad c = -3$

คำนวณค่าดิสคริมิแนนต์:

$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

เนื่องจาก $\Delta > 0$ ในระบบจำนวนจริง เราจึงคาดว่าจะมีสองคำตอบที่แตกต่างกัน

คราวนี้มาใช้สูตรคำนวณหาคำตอบ:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{1 \pm 5}{4}$

ดังนั้นเราจะได้:

$x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$

ลองตรวจสอบคำตอบอย่างรวดเร็ว:

$2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{3}{2} - 3 = 0$

$2(-1)^2 - (-1) - 3 = 0$

จุดสำคัญที่เห็นได้จากตรงนี้คือ การระบุเครื่องหมายให้ถูกต้องมีความสำคัญพอๆ กับตัวสูตรเอง หากคุณระบุ $b = -1$ ผิด ขั้นตอนที่เหลือทั้งหมดจะเปลี่ยนไปทันที

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในเรื่องสมการกำลังสอง

• ไม่จัดรูปสมการให้ฝั่งหนึ่งเป็นศูนย์ก่อนเริ่มคำนวณ
• สลับเครื่องหมายของ $b$ หรือ $c$ ตอนคัดลอกค่าสัมประสิทธิ์
• ลืมไปว่าการจำแนกคำตอบด้วย $\Delta$ ใช้สำหรับคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น
• ใช้สูตรเพียงฝั่งเดียวและลืมใส่เครื่องหมาย $\pm$
• ข้ามขั้นตอนการตรวจสอบคำตอบในตอนท้าย

การนำไปใช้งาน

สมการกำลังสองปรากฏบ่อยครั้งในวิชาพีชคณิต, การศึกษาเรื่องพาราโบลา และโจทย์ปัญหาที่ค่าหนึ่งขึ้นอยู่กับกำลังสองของอีกค่าหนึ่ง คุณยังสามารถพบได้ในแบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่, จุดตัดของกราฟ และแบบจำลองวิถีการเคลื่อนที่อย่างง่าย

สมการเหล่านี้ไม่ได้มีไว้เพื่อให้ท่องจำสูตรมาตอบเท่านั้น แต่มีไว้เพื่ออธิบายสถานการณ์ที่ความสัมพันธ์ไม่ได้เป็นเส้นตรง (non-linear)

ลองทำแบบฝึกหัดที่คล้ายกัน

ลองแก้สมการนี้ดู:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

ขั้นแรกให้คำนวณ $\Delta$ จากนั้นตัดสินใจว่าจะใช้สูตรคำนวณหรือการแยกตัวประกอบ หากคุณต้องการตรวจสอบขั้นตอนหลังจากลองทำด้วยตัวเองแล้ว สามารถนำไปเปรียบเทียบกับ เครื่องมือช่วยคำนวณคณิตศาสตร์ ได้เลย