Pochodne — Reguły, Wzory i Przykłady

Pochodne pokazują, jak szybko zmienia się funkcja w danym punkcie. W zadaniach szkolnych najwygodniej myśleć o nich na dwa sposoby: jako o chwilowym tempie zmian oraz jako o nachyleniu stycznej do wykresu.

Najważniejsza praktyczna rzecz jest prosta: zanim zaczniesz liczyć, rozpoznaj typ funkcji. To zwykle decyduje, czy użyjesz reguły potęgowej, sumy, iloczynu, ilorazu czy reguły łańcuchowej.

Co to są pochodne

Jeśli funkcja rośnie szybko, jej pochodna jest duża dodatnia. Jeśli maleje, pochodna jest ujemna. Gdy w punkcie wykres jest "płaski", pochodna może być równa zero.

Dlatego pochodne są potrzebne nie tylko w analizie matematycznej. Używa się ich też przy badaniu monotoniczności, szukaniu maksimów i minimów, wyznaczaniu stycznej oraz opisie zmian w fizyce, ekonomii i biologii.

Najważniejsze wzory na pochodne

Od tych reguł zaczyna się większość zadań:

$$\frac{d}{dx}(c)=0$$ $$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$ $$\frac{d}{dx}(cf(x))=cf'(x)$$ $$\frac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)$$

Tutaj $c$ jest stałą. Reguła potęgowa działa dla funkcji potęgowych w rozważanej dziedzinie.

Kiedy działa reguła iloczynu, ilorazu i łańcuchowa

Jeśli funkcja ma bardziej złożoną budowę, najczęściej potrzebujesz jednej z trzech reguł:

$$\frac{d}{dx}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$ $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Wzór na iloraz stosujesz pod warunkiem, że $v(x)\ne0$.

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

To jest reguła łańcuchowa. Działa wtedy, gdy masz "funkcję w funkcji", na przykład $(2x+1)^5$, $\sqrt{3x-2}$ albo $\sin(x^2)$.

Pochodne funkcji elementarnych

W praktyce bardzo często pojawiają się też te wzory:

$$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$$ $$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$ $$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$

W liczbach rzeczywistych wzór dla $\ln x$ stosuje się dla $x>0$.

Jak dobrać regułę do typu funkcji

Najpierw patrz na zewnętrzną postać funkcji, a dopiero potem na środek. To prostsze niż zgadywanie wzoru po wyglądzie całego zapisu.

• Jeśli widzisz sumę lub różnicę, różniczkuj składniki osobno.
• Jeśli widzisz iloczyn dwóch zmieniających się wyrażeń, użyj reguły iloczynu.
• Jeśli jedno wyrażenie stoi nad drugim, sprawdź regułę ilorazu.
• Jeśli całe wyrażenie jest potęgą, sinusem, cosinusem lub logarytmem czegoś bardziej złożonego, zwykle potrzebna jest reguła łańcuchowa.

Przykład: pochodna $(2x^3-1)^4$

Policzmy pochodną funkcji

$$f(x)=(2x^3-1)^4$$

To nie jest zwykłe $x^4$. Potęga działa na całe wyrażenie $2x^3-1$, więc mamy funkcję złożoną. Używamy reguły łańcuchowej.

Najpierw różniczkujemy funkcję zewnętrzną:

$$\frac{d}{du}(u^4)=4u^3$$

Potem funkcję wewnętrzną:

$$\frac{d}{dx}(2x^3-1)=6x^2$$

Łączymy oba kroki:

$$f'(x)=4(2x^3-1)^3 \cdot 6x^2$$

Po uporządkowaniu dostajemy:

$$f'(x)=24x^2(2x^3-1)^3$$

To jest dobry model myślenia do wielu zadań: najpierw pochodna części zewnętrznej, potem mnożenie przez pochodną części wewnętrznej.

Najczęstsze błędy przy pochodnych

Najczęstszy błąd to pominięcie pochodnej części wewnętrznej. Dla $(2x^3-1)^4$ wynik $4(2x^3-1)^3$ jest niepełny, bo brakuje czynnika $6x^2$.

Drugi częsty błąd to traktowanie iloczynu tak, jakby pochodna z iloczynu była iloczynem pochodnych. To nie działa. Trzeba użyć pełnego wzoru na regułę iloczynu.

Trzeci błąd dotyczy warunków. Przy ilorazie mianownik nie może być zerem, a przy $\ln x$ w liczbach rzeczywistych trzeba pamiętać o warunku $x>0$.

Gdzie pochodne są używane

W szkole pochodne najczęściej służą do badania, gdzie funkcja rośnie lub maleje oraz gdzie ma maksimum albo minimum. Na studiach i w zastosowaniach pochodna pomaga opisywać prędkość, przyrost kosztu, czułość modelu albo tempo zmian procesu.

Nie trzeba jednak zaczynać od trudnych zastosowań. Na początku ważniejsze jest to, by szybko rozpoznać strukturę funkcji i dobrać właściwą regułę.

Spróbuj podobnego zadania

Rozwiąż teraz pochodną funkcji

$$(3x-2)^5$$

i sprawdź, czy pamiętasz o pochodnej części wewnętrznej. Jeśli chcesz pójść krok dalej, spróbuj też funkcji

$$(x^2+1)(x-4)$$

żeby porównać sytuację, w której działa już reguła iloczynu. To naturalny następny krok, jeśli chcesz utrwalić pochodne bez uczenia się wzorów na pamięć.