Wzory na całki

Wzory na całki to gotowe reguły do liczenia całek nieoznaczonych, czyli do znajdowania funkcji pierwotnej. Działają dobrze wtedy, gdy wyrażenie podcałkowe od razu przypomina znaną pochodną, na przykład $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$ albo $\cos x$.

To nie jest uniwersalna lista na każdą całkę. Jeśli masz sumę prostych składników, wzory zwykle wystarczą. Jeśli pojawia się iloczyn, złożenie funkcji albo bardziej nietypowy zapis, trzeba sięgnąć po inną metodę.

Co oznaczają wzory na całki nieoznaczone

W całce nieoznaczonej szukasz wszystkich funkcji, których pochodna daje dany wynik. Dlatego odpowiedź zapisuje się ze stałą całkowania $C$.

Na przykład skoro

$$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2,$$

to

$$\int 3x^2\,dx = x^3 + C.$$

To jest właśnie sens wzorów na całki: odwracają znane wzory na pochodne.

Najważniejsze wzory na całki

To są reguły, od których zwykle zaczyna się naukę.

Reguła potęgowa

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

Ta reguła działa dla potęg, ale tylko wtedy, gdy wykładnik nie jest równy $-1$.

Przypadek szczególny dla $\frac{1}{x}$

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

To nie jest zwykły przypadek reguły potęgowej. Dla $x^{-1}$ wynik przechodzi w logarytm.

Funkcje wykładnicze

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

W drugim wzorze warunek dla podstawy jest konieczny. Bez niego zapis nie ma sensu w tej postaci.

Podstawowe całki trygonometryczne

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Liniowość całki

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Ta reguła działa dla sumy i różnicy. Nie oznacza to, że całkę z iloczynu można rozdzielić na iloczyn całek.

Najważniejszy wyjątek we wzorach na całki: $n=-1$

To miejsce, w którym uczniowie mylą się najczęściej. Reguła potęgowa nie działa dla $n=-1$, bo wtedy mianownik $n+1$ byłby równy zero.

Dlatego:

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Warto też zauważyć, że pojawia się $\ln|x|$, a nie samo $\ln x$. Moduł jest potrzebny, bo funkcja $\frac{1}{x}$ jest określona zarówno dla dodatnich, jak i dla ujemnych wartości $x$.

Przykład: jak zastosować wzory na całki krok po kroku

Policzmy całkę:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

To suma trzech prostych składników, więc można użyć liniowości i policzyć każdy osobno.

Najpierw:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Następnie:

$$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$

bo $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.

Na końcu:

$$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Po połączeniu wyników dostajemy:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Najprostsza kontrola to policzenie pochodnej odpowiedzi:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Jeśli po zróżniczkowaniu wracasz do wyrażenia podcałkowego, wzory zostały użyte poprawnie.

Typowe błędy przy wzorach na całki

• Pomijanie stałej całkowania $+C$ w całce nieoznaczonej.
• Używanie reguły potęgowej dla $\int x^{-1}\,dx$ zamiast wzoru z logarytmem.
• Gubienie znaku minus w całce z $\sin x$.
• Rozdzielanie całki z iloczynu tak, jakby działała liniowość dla mnożenia.
• Stosowanie wzoru bez sprawdzenia warunku, na przykład $a > 0$ i $a \ne 1$ przy $\int a^x\,dx$.

Kiedy wzory na całki wystarczają, a kiedy nie

Wzory działają najlepiej wtedy, gdy wyrażenie podcałkowe już wygląda jak znana pochodna. Tak jest przy wielomianach, prostych funkcjach wykładniczych i podstawowych funkcjach trygonometrycznych.

Jeśli widzisz iloczyn, iloraz albo bardziej złożoną strukturę, nie warto na siłę dopasowywać wzoru. W takich zadaniach częściej potrzebne są podstawienie, całkowanie przez części albo inne techniki.

Spróbuj podobnego zadania

Rozwiąż teraz

$$\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$$

i najpierw nazwij wzór użyty dla każdego składnika. Jeśli chcesz utrwalić temat, rozwiąż własną wersję podobnego przykładu i sprawdź wynik przez pochodną. To najszybszy sposób, żeby wzory na całki zaczęły być naprawdę użyteczne.