Wzory Trygonometryczne

Wzory trygonometryczne to podstawowe zależności między kątem a funkcjami $\sin \theta$, $\cos \theta$ i $\tan \theta$. Używa się ich głównie do dwóch rzeczy: liczenia boków i kątów w trójkącie prostokątnym oraz obliczania wartości takich jak $\sin 75^\circ$ albo upraszczania wyrażeń trygonometrycznych.

Jeśli zapamiętasz definicje funkcji, wzór na tangens i tożsamość $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, zrobisz większość szkolnych zadań z tego tematu.

Najważniejsze wzory na start

W trójkącie prostokątnym:

$$\sin \theta = \frac{\text{przeciwlegla}}{\text{przeciwprostokatna}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{przylegla}}{\text{przeciwprostokatna}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{przeciwlegla}}{\text{przylegla}}$$

Poza samym trójkątem bardzo często używa się też dwóch zależności:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \quad \text{dla } \cos \theta \ne 0$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

Co te wzory naprawdę opisują

To nie jest przypadkowa lista równań. Te wzory opisują, jak zmieniają się proporcje i współrzędne, gdy zmienia się kąt.

W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne porównują długości boków względem wybranego kąta. Bok przeciwległy i przyległy zależą więc od tego, który kąt właśnie analizujesz.

Na okręgu jednostkowym te same funkcje opisują położenie punktu. Dzięki temu trygonometria działa nie tylko dla kątów ostrych, ale też dla kątów większych niż $90^\circ$, ujemnych i większych niż jeden pełny obrót.

Które wzory warto znać najpierw

Na początek wystarczą trzy grupy wzorów:

1. Definicje $\sin \theta$, $\cos \theta$ i $\tan \theta$ w trójkącie prostokątnym.
2. Zależność $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, ale tylko gdy $\cos \theta \ne 0$.
3. Tożsamość $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, która pozwala przechodzić między sinusem i cosinusem.

Dopiero potem warto dorzucić wzory na sumę i różnicę kątów, bo są potrzebne do liczenia mniej oczywistych wartości:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Nie trzeba zaczynać od długiej tabeli. W praktyce najwięcej zadań szkolnych opiera się na kilku wzorach użytych we właściwym momencie.

Przykład: jak obliczyć $\sin 75^\circ$

Policzmy dokładną wartość $\sin 75^\circ$.

Kąt $75^\circ$ można zapisać jako $45^\circ + 30^\circ$, więc używamy wzoru na sinus sumy:

$$\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

Podstawiamy znane wartości:

$$\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin30^\circ=\frac{1}{2}$$

Zatem:

$$\sin75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

Ten przykład pokazuje ważną rzecz: wzory trygonometryczne nie służą tylko do trójkątów prostokątnych. Pozwalają też rozkładać trudniejszy kąt na prostsze kąty o znanych wartościach.

Najczęstsze błędy we wzorach trygonometrycznych

Najczęstszy błąd to mylenie boku przeciwległego z przyległym. Te nazwy nie są przypisane raz na zawsze do boków trójkąta. Zależą od kąta, od którego zaczynasz.

Drugi błąd to używanie wzoru $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ bez warunku $\cos \theta \ne 0$. Gdy $\cos \theta = 0$, taki iloraz nie jest określony.

Trzeci błąd pojawia się przy wyciąganiu pierwiastka z tożsamości:

$$\cos^2 \theta = 1-\sin^2 \theta$$

Nie wynika z niej automatycznie, że:

$$\cos \theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta}$$

Poprawnie trzeba pamiętać, że możliwe jest:

$$\cos \theta = \pm\sqrt{1-\sin^2 \theta}$$

Znak zależy od ćwiartki albo od warunków podanych w zadaniu. Jeśli ten warunek nie jest znany, nie wolno samodzielnie wybierać plusa.

Kiedy wzory trygonometryczne są używane

Wzory trygonometryczne pojawiają się wtedy, gdy zadanie łączy kąt z długością, współrzędnymi albo ruchem okresowym.

Są częste w geometrii, w zadaniach maturalnych, przy opisie ruchu po okręgu, fal i drgań oraz przy upraszczaniu wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi.

Jeśli zadanie dotyczy trójkąta prostokątnego, zacznij od definicji $\sin$, $\cos$ i $\tan$. Jeśli trzeba przekształcić wyrażenie albo policzyć wartość kąta złożonego, zwykle lepszym punktem wyjścia są tożsamości i wzory na sumę lub różnicę kątów.

Spróbuj podobnego zadania

Policz w ten sam sposób $\cos 75^\circ$ albo $\sin 15^\circ$. Jeśli ten schemat już działa, łatwiej będzie Ci przejść do innych zadań z tożsamościami i kątami złożonymi.