전단력도·굽힘모멘트도(SFD·BMD) — 그리는 순서와 최대 모멘트 찾기

보에 하중이 걸리면 어디가 제일 휘고, 어디서 부러질지 — 그걸 보여주는 두 그래프가 전단력도(SFD)와 굽힘모멘트도(BMD)다.

굽힘모멘트가 큰 자리일수록 그 단면이 세게 휜다. 그래서 BMD에서 모멘트가 최대인 곳이 보에서 제일 위험한 곳이고, 설계는 거기 단면을 키운다.

아래 위젯에서 직접 확인할 수 있다. 점하중을 양 끝으로 밀면 최대 모멘트가 줄어들고, 가운데로 올수록 커진다. 등분포로 바꾸면 모멘트가 포물선이 된다.

그리는 건 4단계로 끝난다

1단계 — 반력부터. 자유물체도(FBD)를 그리고 평형 3식($\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M=0$)으로 지지점 반력을 구한다. 이 값이 틀리면 뒤 계산이 전부 어긋나니, 여기서 한 번 검산한다.

2단계 — 하중이 바뀌는 지점마다 자른다. 점하중, 집중모멘트, 분포하중의 시작과 끝이 구간 경계다. 한 구간 안에서는 V와 M이 하나의 식으로 표현된다.

3단계 — 구간마다 V(x)·M(x). 왼쪽 끝에서 자르고, 그 단면 왼쪽에 남은 힘을 더하면 전단력, 모멘트를 더하면 굽힘모멘트다. 오른쪽이 더 간단하면 오른쪽에서 잘라도 된다.

4단계 — 좌우 극한 표로 적고 그린다. $x=0^+,\ a^-,\ a^+,\ L^-$ 처럼 하중점 양쪽 값을 적어두면 SFD의 점프를 빠뜨리지 않는다. 왼쪽 반력에서 출발해 하중을 만날 때마다 점프와 기울기를 바꿔 그린다.

부호: 전단은 시계방향이 +, 모멘트는 처지면 +

부호 약속을 먼저 정하고 들어간다.

전단력은 자른 단면의 한쪽만 보고 정한다. 왼쪽 부분에 남은 외력의 합이 위로 향하면 V는 +다. 즉, 보를 한 토막 떼어 보면 그 토막을 시계방향으로 돌리는 전단이 +다.

굽힘모멘트는 보가 휘는 방향으로 정한다. 아래로 처지면(sagging, ∪ 모양) +, 위로 솟으면(hogging, ∩ 모양) −다. 처짐을 +로 두는 건 약속이지만, 처질 때 아래쪽 섬유가 늘어나 거기가 먼저 위험해지므로 자연스러운 약속이다.

하중·전단·모멘트는 기울기로 이어진다

세 양은 따로 노는 게 아니라 미분 관계로 묶여 있다. 그래서 하나를 알면 다음을 계산 없이 그릴 수 있다. (아래에서 $w$는 아래로 향하는 분포하중을 +로 둔다)

$$\frac{dV}{dx} = -w(x), \qquad \frac{dM}{dx} = V(x)$$

분포하중은 전단력의 기울기다. 하중이 없는 구간에서 V는 수평선이고, 등분포(UDL) 구간에서는 직선으로 내려간다. 삼각형 분포면 V가 2차곡선이 된다.

전단력은 모멘트의 기울기다. V가 상수면 M은 직선, V가 직선이면 M은 포물선, V가 2차곡선이면 M은 3차곡선이다.

집중된 하중은 점프를 만든다. 점하중 자리에서 V가 하중 크기만큼 수직으로 떨어지고, 집중모멘트 자리에서 M이 그만큼 수직으로 뛴다. 이때 V는 변하지 않는다.

면적 관계가 하나 더 있다. SFD에서 어떤 구간의 도형 면적이 그 구간의 모멘트 변화량과 같다. 사각형·삼각형 넓이로 더하면 적분하지 않고도 M이 나온다.

최대 모멘트는 네 곳만 확인하면 된다

"V=0인 곳이 최대 모멘트"라는 말은 매끈한 구간 안에서만 맞다. $M'(x)=V(x)$ 라서 V=0은 그 구간의 극값 후보일 뿐이다. 실제로는 네 자리를 모두 본다.

• 분포하중 구간에서 V가 부호를 바꾸는 점 (V=0).
• 점하중 자리. V가 $+$에서 $-$로 점프하면 V=0을 안 거쳐도 그 점이 극대다.
• 집중모멘트 자리의 좌우. M이 점프하니 양쪽 값을 둘 다 본다.
• 경계 — 지점, 고정단, 내민보 끝단.

하중 모양이 선도 모양을 정한다 (단순지지보)

하중	전단력도 V	굽힘모멘트도 M	최대 모멘트
중앙 점하중 P	계단형 (±P/2)	삼각형, 중앙 꼭짓점	$PL/4$ (중앙)
점하중 P (a, b=L−a)	계단형	삼각형, 하중점 꼭짓점	$Pab/L$ (하중점)
등분포 w	직선 (양끝 ±wL/2)	포물선	$wL^2/8$ (중앙)
삼각형 분포 (0→w₀)	2차곡선	3차곡선	≈ $0.064\,w_0L^2$ (x≈0.577L)
집중모멘트 M₀	수평 (±M₀/L)	직선 + 점프	점프 전후 비교

외팔보(cantilever)는 모멘트가 고정단에서 최대(hogging, −)다. 자유단 점하중 P는 $|M|=PL$, 등분포는 $wL^2/2$. 다만 집중모멘트나 복합하중이 함께 작용하면 다시 비교해야 한다.

예제 1 — 단순지지보 + 점하중: 최대는 하중점

경간 $L=8\,\text{m}$, 왼쪽에서 $a=3\,\text{m}$ 지점에 $P=12\,\text{kN}$이 걸린다.

반력. $\sum M_\text{좌}=0$에서 $R_2 \cdot 8 = 12 \cdot 3$, 따라서 $R_2 = 4.5\,\text{kN}$. $\sum F_y=0$에서 $R_1 = 7.5\,\text{kN}$.

전단력. $0<x<3$ 구간은 $V=+7.5$. 하중을 지나면 $3<x<8$ 구간은 $V=7.5-12=-4.5$. 하중점에서 12만큼 점프한다.

굽힘모멘트. V가 $+$에서 $-$로 점프하는 $x=3$이 최대다. $M=R_1 \cdot 3 = 22.5\,\text{kN·m}$. 공식 $Pab/L=12\cdot3\cdot5/8=22.5$와 일치한다.

예제 2 — 외팔보 + 등분포: 고정단이 제일 위험

길이 $L=4\,\text{m}$, 등분포 $w=5\,\text{kN/m}$, 왼쪽이 고정단이다. $x$는 고정단에서 잰다.

구간식. 단면 오른쪽에 남은 길이 $(L-x)$가 하중 $w(L-x)$를 싣는다. 그래서 $V(x)=w(L-x)$, $M(x)=-\dfrac{w(L-x)^2}{2}$.

값. 자유단 $x=L$에서는 $V=0,\ M=0$이다. 고정단 $x=0$에서는 $V=wL=20\,\text{kN}$, $M=-\dfrac{wL^2}{2}=-40\,\text{kN·m}$. ($dM/dx=V$와 일치한다)

외팔보는 보통 고정단이 제일 위험하다. 그래서 거기 단면을 키우거나 리브를 댄다.

예제 3 — 단순지지보 + 등분포: 최대 전단과 최대 모멘트는 따로

경간 $L=6\,\text{m}$, 등분포 $w=4\,\text{kN/m}$.

반력. 대칭이라 $R_1=R_2=\dfrac{wL}{2}=12\,\text{kN}$.

전단력. $V(x)=12-4x$. 양 끝에서 $\pm12$이고, 가운데 $x=3$에서 $V=0$이다.

굽힘모멘트. V=0인 가운데가 최대다. $M=\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{4\cdot36}{8}=18\,\text{kN·m}$. M은 포물선이다.

여기서 보듯, 전단이 최대인 곳(양 지점, ±12)과 모멘트가 최대인 곳(가운데, 18)은 위치가 다르다.

예제 4 — 내민보: 지점 위에서 음(−)모멘트

지점 A는 0, 지점 B는 6이고, 오른쪽으로 2 m 내밀어 끝단 C가 8이다. 끝단에 $P=12\,\text{kN}$이 걸린다.

반력. $\sum M_A=0$에서 $R_B\cdot6 = 12\cdot8$, 따라서 $R_B=16\,\text{kN}$. $\sum F_y=0$에서 $R_A = 12-16 = -4\,\text{kN}$, 즉 A는 오히려 위로 들린다.

지점 B 모멘트. B에서 오른쪽으로 잘라 끝단 하중만 보면 $M_B = -P\cdot2 = -24\,\text{kN·m}$, 즉 hogging(음)이다.

내민보는 지점 위에서 음모멘트가 크게 나오고, 경간 안 어딘가에 $M=0$인 변곡점이 생긴다. "지점이면 M=0"이라고 외우면 여기서 바로 틀린다.

자주 틀리는 네 가지

부호 규약을 안 정하고 시작한다. 그리기 전에 "전단 +방향, 모멘트 +방향"을 종이 구석에 먼저 적어 둔다. 중간에 헷갈리면 답이 통째로 뒤집힌다.

반력을 틀린다. 반력이 틀리면 그 뒤 식이 통째로 날아간다. 분포하중의 합력 위치(UDL은 중앙, 삼각형은 1/3 또는 2/3 지점)나 집중모멘트를 빠뜨리면 거기서부터 다 틀린다.

점하중에서 최대를 끝점에서 찾는다. 점하중 자리는 V=0이 없어도 V가 부호만 바꾸면 그 점이 최대 모멘트다. SFD에서 부호가 바뀌는 x부터 본다.

지점이면 무조건 M=0이라고 본다. 단순지지보의 끝 지점은 맞지만, 내민보 안쪽 지점에는 음모멘트가 걸린다.

시험 직전 요약

1. 반력 (평형 3식) — 여기 틀리면 끝
2. 하중점마다 구간, x=0+ a- a+ L- 좌우극한 표
3. dV/dx=-w, dM/dx=V 로 모양:
   하중없음→V수평→M직선 / UDL→V직선→M포물선 / 삼각형→V2차→M3차
   점하중→V점프 / 집중모멘트→M점프
4. 최대 M 후보: 내부 V=0 · 점하중 점프 · 집중모멘트 전후 · 지점/고정단
   (변곡점 M=0 ≠ 최대 V=0,  최대전단 위치 ≠ 최대모멘트 위치)
5. 부호: 전단 시계+ / 모멘트 처짐+
공식: 중앙점하중 PL/4 · 점하중 Pab/L · UDL wL²/8
      외팔보 자유단점하중 PL · 외팔보 UDL wL²/2