せん断力図と曲げモーメント図

せん断力図と曲げモーメント図は、荷重を受ける梁に対する2つのグラフです。せん断力図は各断面に生じる内部力を示し、曲げモーメント図は各断面で梁がどれだけ強く曲がろうとしているかを示します。

検索意図に合わせて要点だけ言うと、外力は梁の外側から作用しますが、せん断力と曲げモーメントは梁の長さ方向に沿った内部応答を表します。せん断力がどこで跳び、曲げモーメントがどこで最大になるかを読めれば、この図の役割は十分に果たされています。

せん断力図と曲げモーメント図が示すもの

横荷重を受ける梁では、ある位置で梁を切断し、片側をつり合いに保つためにどんな内部作用が必要かを考えることができます。

切断位置を左から右へ動かすと、これらの内部量はふつう変化します。図は単に、それらの値を梁に沿った位置に対して表したグラフです。

これらの図を使うと、実務的な問いにすばやく答えられます。

これらは、純粋な軸方向の引張や圧縮よりも曲げが重要になる梁、橋、ラーメン、その他の部材で特に役立ちます。

初歩的なせん断力図と曲げモーメント図の多くは、いくつかのルールで説明できます。

よく使われる符号規約の1つでは、正の曲げモーメントは下にたわむ向きで、梁は浅い笑顔のように曲がります。別の規約では図が上下反転することもあるので、授業、教科書、ソフトウェアで使う規約を必ず確認してください。

スパン $L$ の単純支持梁の中央に、下向きの集中荷重 $P$ が1つ作用する場合を考えます。

対称性より、支点反力は等しくなります。

R_A = R_B = \frac{P}{2}

これでせん断力図はすぐにわかります。左支点のすぐ右では、せん断力は $+P/2$ です。中央では下向き荷重によってせん断力が $P$ だけ下がるので、値は $-P/2$ になります。右支点では反力によって再び 0 に戻ります。

区分的に書くと、

V(x) = \begin{cases} \frac{P}{2}, & 0 < x < \frac{L}{2} \\ -\frac{P}{2}, & \frac{L}{2} < x < L \end{cases}

曲げモーメントは両方の単純支持端で 0 であり、梁の各半分ではせん断力が一定なので、その間は直線的に変化します。

M(x) = \begin{cases} \frac{P}{2}x, & 0 \le x \le \frac{L}{2} \\ \frac{P}{2}(L - x), & \frac{L}{2} \le x \le L \end{cases}

したがって、曲げモーメント図は三角形になり、最大値は中央で生じます。

M_{max} = \frac{PL}{4}

これは通常の「下たわみを正」とする符号規約によります。

この1本の梁だけで、学生が最初に押さえるべき基本パターンが見えてきます。

ただし最後の点には条件があります。これは、その領域で曲げモーメント図が連続であり、その位置に集中モーメントが作用していない通常の梁の問題で信頼できる見方です。

荷重図はせん断力図ではありません。下向き荷重があるからといって、せん断力のグラフも見た目に同じように下向きへ傾くわけではありません。せん断力図と曲げモーメント図は、荷重の写しではなく応答です。

支点反力が抜けていたり間違っていたりすると、その後に求めるせん断力図と曲げモーメント図の値もすべて間違います。

集中荷重はせん断力を急に変化させます。集中モーメントは曲げモーメントを急に変化させます。これは別の効果です。

どちらも正しい解でも、符号規約が違えば図は上下反転して見えることがあります。大きさ、跳びの量、ゼロの位置を比べる前に、まず符号のルールを確認してください。

せん断力図と曲げモーメント図は、梁の設計、構造解析、材料力学や構造力学の授業でよく登場します。危険断面の見積もり、荷重と内部応力の関係づけ、支点条件や荷重条件が物理的に妥当かどうかの確認に使われます。

たとえ構造物を設計しないとしても、これらの図は全体のつり合いから局所的な内部力がどう現れるかをきれいに示してくれます。

同じ単純支持梁のまま、集中荷重を中央からずらしてみてください。まず2つの支点反力を求め、次に左から右へせん断力図を描き、そのせん断力から曲げモーメント図をスケッチします。計算が一貫していれば、曲げモーメントは両方の単純支持端でやはり 0 ですが、最大値の位置はスパン中央からずれます。

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