Principio di indeterminazione di Heisenberg — formula e significato

Il principio di indeterminazione di Heisenberg significa che non puoi preparare uno stato quantistico con posizione perfettamente definita e quantità di moto perfettamente definita lungo lo stesso asse. La formula standard posizione-quantità di moto è

$$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$

Qui $\Delta x$ è la dispersione nelle misure di posizione e $\Delta p$ è la dispersione nelle misure della quantità di moto per lo stesso stato preparato. Non è solo un'affermazione su strumenti imperfetti. È un limite incorporato nello stato stesso.

Che cosa significa la formula

I simboli $\Delta x$ e $\Delta p$ non indicano una singola misura sbagliata. Descrivono quanto sono dispersi i risultati se ripeti le misure su molti sistemi preparati in modo identico.

Quindi il principio riguarda la struttura statistica di uno stato quantistico. Se lo stato è fortemente localizzato nella posizione, la sua distribuzione della quantità di moto deve essere più ampia. Se la sua quantità di moto è molto ben definita, la distribuzione di posizione deve essere più ampia.

Intuizione: perché la localizzazione allarga la quantità di moto

Nella meccanica ondulatoria, un pacchetto d'onda fortemente localizzato deve essere costruito a partire da molte lunghezze d'onda diverse. Poiché la quantità di moto è legata alla lunghezza d'onda tramite la relazione di de Broglie, molte lunghezze d'onda significano molte componenti di quantità di moto.

Per questo il principio di indeterminazione non è una regola arbitraria aggiunta sopra la meccanica quantistica. Riflette il modo in cui localizzazione e composizione ondulatoria si combinano tra loro.

Esempio svolto: un elettrone confinato a una scala atomica

Supponi che un elettrone sia localizzato entro circa

$$\Delta x = 1.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$$

che corrisponde approssimativamente a una scala di lunghezza atomica. Allora il principio di indeterminazione dà

$$\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\Delta x}$$

Usando $\hbar \approx 1.055 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$,

$$\Delta p \ge \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2 \times 1.0 \times 10^{-10}} \approx 5.3 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Quel numero è il punto principale: un forte confinamento impone una dispersione della quantità di moto non trascurabile.

Se assumi anche che l'elettrone sia non relativistico, puoi stimare la corrispondente dispersione della velocità da $\Delta p \approx m_e \Delta v$:

$$\Delta v \gtrsim \frac{5.3 \times 10^{-25}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.8 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$$

Quest'ultimo passaggio dipende dall'approssimazione non relativistica. Anche dichiarando questa condizione, il punto fisico è chiaro: una volta che una particella è confinata in una regione minuscola, il suo moto non può rimanere definito con precisione arbitraria.

Che cosa non dice il principio di indeterminazione

Il principio di indeterminazione non dice che le particelle sembrano indeterminate solo perché la strumentazione di laboratorio è scadente. Non dice nemmeno che ogni coppia di grandezze fisiche obbedisce allo stesso limite inferiore.

Conta per coppie di osservabili che non possono essere simultaneamente ben definite nello stesso stato quantistico. Posizione e quantità di moto sono l'esempio standard.

Non significa neppure che una particella non abbia quantità di moto quando la sua posizione è ben localizzata. Significa che la dispersione dei possibili risultati della quantità di moto non può essere troppo piccola nello stesso tempo.

Errori comuni

• Trattare $\Delta x$ e $\Delta p$ come errori umani di misura invece che come dispersioni che dipendono dallo stato.
• Leggere la disuguaglianza come se si applicasse a due grandezze qualsiasi senza controllare le condizioni quantistiche.
• Pensare che il principio dica che posizione e quantità di moto non possano mai essere misurate. Dice che le loro dispersioni non possono entrambe diventare arbitrariamente piccole nello stesso stato.
• Dimenticare la direzione: la formula standard si riferisce a posizione e quantità di moto lungo lo stesso asse.
• Usare solo l'intuizione classica e perdere il quadro del pacchetto d'onda che sta dietro al risultato.

Perché il principio conta in fisica

Il principio di indeterminazione aiuta a spiegare perché gli elettroni negli atomi non sono descritti bene da minuscole orbite classiche con posizione esatta e quantità di moto esatta. È importante anche nei problemi di confinamento, nei pozzi quantistici, nel moto di punto zero, nelle stime del tunneling e nella fisica dei dispositivi su scala nanometrica.

Più in generale, segna un vero passaggio rispetto alla meccanica classica. Nella fisica classica puoi immaginare uno stato con posizione esatta e quantità di moto esatta in un dato istante. Nella fisica quantistica, questa immagine classica in generale non è disponibile.

Quando usare il principio di indeterminazione

Usa il principio di indeterminazione quando il sistema è abbastanza microscopico perché il comportamento ondulatorio sia importante e quando vuoi un limite d'ordine di grandezza invece di una soluzione quantistica completa. È particolarmente utile per stime rapide: quale dispersione minima della quantità di moto deriva da una certa lunghezza di confinamento, oppure quanto piccola può essere la regione occupata da una particella con una data dispersione della quantità di moto.

Per una previsione dettagliata di un sistema specifico, di solito serve più del solo principio di indeterminazione. È qui che entrano in gioco l'equazione di Schrödinger o un modello quantistico più completo.

Prova una stima simile

Cambia la scala di confinamento da $1.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{m}$ a $1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{m}$ e prevedi che cosa succede alla dispersione minima della quantità di moto prima di calcolarla. Se vuoi un altro caso di pratica, prova una tua versione in GPAI Solver.