Operaciones con Fracciones

Las operaciones con fracciones siguen cuatro reglas distintas. Para sumar o restar, primero necesitas partes del mismo tamaño, así que los denominadores deben coincidir. Para multiplicar, se multiplican numeradores y denominadores. Para dividir, se multiplica por el recíproco de la segunda fracción.

Si $b \ne 0$ y $d \ne 0$, las reglas básicas son estas:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

La última regla solo vale si $\frac{c}{d} \ne 0$, es decir, si $c \ne 0$.

Cómo pensar cada operación con fracciones

En la suma y la resta, el punto clave es el denominador. No puedes combinar directamente $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ como si fueran partes iguales, porque medios y tercios no tienen el mismo tamaño. Primero hace falta un denominador común.

En la multiplicación, la idea es más directa. Tomas una fracción de otra cantidad fraccionaria, y por eso se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí.

En la división, preguntas cuántas veces cabe una fracción dentro de otra. Por eso no se dividen numeradores y denominadores por separado. Lo correcto es multiplicar por el recíproco de la segunda fracción.

Ejemplo resuelto con las cuatro operaciones

Usa las mismas dos fracciones en las cuatro operaciones:

$$\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad \frac{5}{6}$$

Para sumar, conviene escribir $\frac{2}{3}$ como sextos:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Entonces

$$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$

Para restar, el denominador común ya es el mismo:

$$\frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$$

Para multiplicar:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$

Para dividir, inviertes la segunda fracción y luego multiplicas:

$$\frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$

La diferencia esencial aparece clara: suma y resta exigen comparar partes del mismo tamaño; multiplicación y división no.

Errores comunes al operar fracciones

Sumar o restar denominadores

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}$$

Ese error aparece por tratar piezas de distinto tamaño como si fueran iguales. Antes de sumar o restar, convierte ambas fracciones a un denominador común.

Dividir sin invertir la segunda fracción

$$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$$

no se resuelve como $\frac{3 \div 2}{4 \div 5}$. La regla correcta es

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2}.$$

Cancelar donde no se puede

Simplificar al final suele ser lo más claro. En multiplicaciones también se puede simplificar antes si cancelas factores comunes de forma válida, pero no debes cancelar términos a través de una suma o una resta.

Olvidar las condiciones

Una fracción no está definida si su denominador es $0$. Además, no puedes dividir entre una fracción que vale $0$.

Cuándo se usan estas operaciones

Las operaciones con fracciones aparecen en medidas, recetas, repartos, tiempo, razones, probabilidad y álgebra básica. También son una base necesaria para trabajar luego con expresiones racionales, ecuaciones y porcentajes.

Prueba un caso parecido

Intenta resolver con cuidado:

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} \div \frac{2}{5}.$$

Si puedes explicar por qué en unas operaciones buscas denominador común y en otras no, ya entendiste la idea central. Como siguiente paso, prueba tu propia versión con fracciones negativas o con un resultado que sí se simplifique.